2. Eremin - Crystallography

← Следующая

Предыдущая →

N. N. Eremin - Crystallography. Parts 1-2. "Magic" axes of symmetry. Projection. Euler's theory










1. Обобщение предыдущей лекции

сегодня значит у нас несколько важных тем значит

на данном слайде мы с вами разберем тему касающиеся волшебных элементов симметрии

выдам калета кристаллографом в ливане есть на самом деле достаточно интересный разговор вот дальше мы пытаемся и

изумить великих географических открывателей южного полюса скот и а мы

со своим системы проецирования но поскольку у вас вчера уже был семинар вы немножко к этому подготовленное нам

будет немножко проще 2 часть нашего занятия закончить мы должны теорема эйлера и наглядно и

доказать с помощью той машин вот как то так надеюсь что вас заинтриговал

напоминаю что термин симметрия предположительно это абсолютно же лес не

доказываем уведу прошествии долгого времени вилл в обиход пифагор и означало

по-гречески это соразмерность вот и для

вас была некая приятная новость то что на первых порах изучения симметрий и кристаллических объект в мы

работаем с идеализированные моделям кристаллических многогранников где грани

здрасте одной простой формы то есть грани связаны элементами

симметрии равны как по площади так и по своим контуром противном случае вам было бы достаточно

сложно на первых порах изучения понять то что грани не похожих друг на друга как часто

бывает в реальных природных объектах относятся к одной и той же простой формы

значит чтобы это процесс получился чтоб пристал вырос действительно каким-то вот таким которые вот вы разбирали на

семинаре его вы знаете уже кто и такой ceracasa tissure есть несколько

полиморфных модификации это ромбической серы который те кто ходил может быть

диалогические похода ее видели такого желтого цвета по которой очень приятно молотить молотком легко палец и поэтому

вызывает такой спортивный ажиотаж и любители коллекционирования вот лечу

что нужно что вырастет такой идеальный кристалл кристаллы растут долго соответственно нам нужно чтобы в

процессе роста условия кристаллизации слоя рост не менялись вообще то есть

запустим перепад температур остывала там на градус месяц пор не было никаких

пунктуация температур поток вещества который из раствора или расплава

подходит был всегда постоянно неизменный одинаковый со всех сторон понятно что это очень трудно в природе достичь на с

одной стороны это плохо потому что реальные кристаллы всегда несовершенно в

отличие от синтетических а с другой стороны именно несовершенство реальных кристаллов позволяет позволяет

вам понять его истории и его роста что происходило за те там тысячелетия или

миллионы лет что он вырастал это тоже интересно то есть это некая то след в истории вот но с точки зрения

технологических свойств естественно природные образцы обычно всегда хуже вот

возвращаясь к элементам симметрии которые вы знаете напоминаю что

существует два вида элементов симметрии это элемент симметрии первого рода

элементы симметрии второго рода чем они отличаются друг от друга кто помнит одни

обеспечивают конгруэнтно и равенство равенство вложения когда качество фигурки правое или левое она не

меняется а есть так называемое найти аморфные ryan's обеспечивающие равенство

отражения когда правая фигурка превращается в левое левого вправо вот

но есть еще в 7 3 зова на фигурке привод поэт я не могу сказать грани а правая или левая на и право и лево

одновременно как вы понимаете вот но и такие ситуации бывают не всегда

к операциям симметрии первого рода мы относим поворота вокруг поворотных осей

почему всего лишь 4 поворотная ось имеет свое обозначение кто помнит

ну потому что в кристаллических многогранник встречается оси только этих

четырех порядков на плюс ось первого порядка которая встречается всегда везде в огромном количестве принимайте во

внимание только в том случае если других элементов симметрии нет и графического обозначения на не может иметь в

определении потому что мы-то испачкай весь чертеж сразу да вот вы выяснили что

поворотной оси сплошь и рядом встречаются природных объектов в том числе кристаллических если мы удаляем

косточку лимона мы увидим здесь какого-то порядка которая но мне лень считать такого там 10 ли какого-то

быстро умеет вдоль пересчитывать ромашку тем более нам лень считать но ясно she

тоже будет целочисленный порядок осей у срезы яблоко тоже вот неожиданно или 5 возникло так удачно разрезали вот в

кристаллах существует тоже достаточно много различных поворотных элементов симметрии вот данный кристалл гранат

альмандин очень похожие на кубик немножко подрезанными ребрами да как бы здесь можно обнаружить и оси четвертого

порядка которые втыкаются в центр квадратной грани так и оси третьего

порядка которая в этом немножко выраженные вершинки кубика находится так

и оси второго порядка который в середине ребер находится музей да мы видим что

техасе и много в этом кристалле например в данном представить и осей третьего порядка будет четыре штуки таки

с этими объектами мы ещё не встречались высокой симметрией вот то есть кристалл очень симметричный

объект его тоже очень похоже кристалл это флюорит кто знает формуле в форму флюорита может быть кальцев тор 2 онлайн

да это не теперь стал такой по форме тоже часто кристаллизующихся medicum это

кристалл кальцита должен природные кристаллы кальцита и на этой фотографии видно что действительно природа искусно

маскируют реальную симметрии для того чтоб понять набор элементов симметрии этого кристаллика нужно

конечно разрезали другу на каминного кристаллический девиз сделать вот

несчастного ней с которым раз такой же как вверх вот и тогда и повернуть

правильно тогда мы обнаружу что здесь есть вас третьего порядка здесь есть центрами версия вот на

реального вырос и это мое обнаружить не можем как мы даже вот на таком более совершенном кристаллики кольца этому до

можем только угадать наличие оси третьего порядка наличие плоскостей наличие оси и второго порядка вот здесь

это более такой кристалл с огранку приближенной к идеально те мнение все равно реальные условия роста вносит свои

коррективы вот все это привело к тому что большой эмпирический материал накопленные к началу 19 века подвел рена
2. Доказательство закона Р.Ж. Гаюи

и жуста и к тому что он открыл закон

основной закон симметрии кристаллов которое гласит что в кристаллических многогранников порядок асей ограничен

смешным набором простых цифр 1 2 3 4 6 вот мы в на прошлой лекции это говорили

просто как-то состоявшийся факт и в качестве иллюстрации вот говорили вот

такой многогранный случай на плоскости что пятиугольником и она голль никами

сын больше чем 6 нельзя заполнить все двумерное пространство качестве

разбиения то есть как бы когда каждой точке пространства относятся один многоугольник то есть у нас не должно

быть ни зазоров не перекрытия пятиугольника my семьи и на горе тем

больше чем 6 это сделать невозможно вот иначе первыми до этому делу догадались кто да еще сильно долгая и кто это дело

доказал закона в чулан совершенно верно да вот они портала правильно обнаружив

чтобы не замерзнуть зимой начни должно быть щелей по этом пятиугольнике они не стараются не делать до асад и стараются

делать шестиугольной формы ну давайте сейчас немножко попытаемся в

дело понять почему так происходит давайте для начала решим почему не может быть 6

порядков оси больше чем 6 если мы предположим периодическое строение

кристалла то есть кристалл представляет собой некая совокупность однородных точек на вот этот кружочек что

символизирует это некий ника эквивалентная . пространство что это

такое это может быть а мне может жить а там если мы пойдем на миг раунда может не быть атамана при эта точка

равноудалена и двух атомов там внутри нее ничего нет но через определенные процедуру трансляционная

переноса нас возникнет точно такая же . и так будет там вот сто тысяч миллиардов

пар сет до туманности андромеды и дальше и в обратную сторону то же и вот если мы

такое росли простоты из трёхмерного случая перейдем двумерный вариант потому что трехмерных тетрадок в аргументе не

продают я как бы на двумерным случаем это покажу но тоже пространство пускай меньше размерность вот смотрите давайте

мы для простоты решим что у нас есть вот некий такой периодически реакция узлом с длиной

этого вектора а и пускаю в другом направлении другой вектор тоже с этим узлом у она можно сделать разные длинные

но для простоты сделают пускай они и будут одинаковой длины причем я выбрал из тела набора узлов кратчайшее

расстояние я могу выбрать вектор вот так вот так вот так как вы понимаете как угодно но я

выберу по природе самые кратчайшие узла ву расстояние между узлами вот это

давайте рассмотрим этот треугольник построен на двух векторах а один где 1

это эквивалентная . относительно а при вот вот такой вот трансляции и а а 2 при

вот такой трансляции вот этот треугольничек рассмотрим и подумаем какой минимальный угол альфа может быть

у него вот этот поскольку по определению нас от 2 кратчайших вектор а вот это вот

эта сторона треугольника не может быть больше чем а до меньше чем а потому что

мы по определению выбрали что это кратчайший астане связи на альфа не может быть что меньше чем 60 градусов по

их из определения которые мы взяли в качестве условий задачи следует месяц альфа у нас не может быть меньше чем 60

градусов порядок осени может быть больше чем 6-го понятно то есть наличие

решетчатого строения периодического пристало запрещает им больше чем 6 прекрасно 36 можно 5 можно 4 можно 3

можно два можно один можно больше нельзя с пятёркой сейчас разберем с отдельно в чем здесь дело вот значит но и действие

месим посмотрим на фотографии кристаллов мы увидим как мы любой возьмем кристаллика шестерку мы можем увидеть

вот например вот эта чудесная такая гексагональная при значка уже видеть

трешки четверки двушки там и тогда лишь нет семерок восьмерок вот живых

организмах мы знаем что такие случаи сплошь и рядом встречаются если увидели

что-то кристаллическая насосе восьмого порядка да значит скорее всего это какой

то замаскировавшийся вирус пытается проникнуть вас ваш космический корабль поэтому когда вы полетите на марс и

будем отбирать образцы любите правильный там восьмигранник начнут всего руками не трогать потому что скорее всего это как

бы какая-то вредные бактерии ловко замаскировавшийся под кристаллическое состояние то есть это хороший

диагностический признак чтобы отличить живую матери от неживой вот 100 спите святой 5 порядков давайте посмотрим

внимательно два наших узловых ряда допустим вы себя ощущаете вот этой вот .

значит есть и вы двинетесь вправо вы попадете через векторов такую же точку

потом дальше но обратно то вы тоже попадете в такую же точку и все века приложите в одном направлении посмотрите

внимательно этот чертеж какой элемент симметрии какая поворотная ось есть

всегда в любом узле перпендикулярно плоскости чертежа конечно есть ось второго порядка которая

поворачивает нам на 180 градусов этот узел этот узел этот узел в этот узел что

это значит это значит что есть я захочу большом макроскопическом объекте получить l5 я во зло вам ряде

должен сделать помимо 05 еще внутрь сумки l2 то есть я обязан

чтобы получить объект соси 5 порядку зла варят на меня должен обеспечить угол

который дает мне с десятого порядка вдвое большего потому что 8 должна быть четное вот десятого порядка по моему вот

это элементарно углу поворота будет несколько меньше чем 60 градусов то есть пятерки не повезло что она является

составной опять ось должна взлом ряде быть четной поэтому l5 тоже запрещено

или шесть на соплях прошла потому что это r3 умножить на 0 2 и как раз мы вписались 60 градусов с

трудом на вписались этим активно пользуются пчелы а вот l5 оказывается нужно мыть аль 1010 запрещено потому что

в 10 градусов слишком 10 порядок элементарный угол какой получается 36

градусов от 36 по можно меньше чем 60 до как бы вот значит нельзя запрещено

отлично мы с этим разобрались почему решил чистое строение кристаллов

запрещает такие вот порядке асие из ледяных кристаллах как него как любой кристаллик возьмите посмотрите

никогда в жизни вы не найдете осей 5 порядка если только это не квазикристаллическая состояние вещества

но это отдельное состоянии жировой материя в нем будем будем говорить позже

на отдельном занятии пока для нас был у мы сейчас находимся в кристаллографии до

1983 года когда штокман открыл квази кристаллы не нобелевскую премию потом за нее получит ну и справились ли ради надо

сказать что если взять статистику то квазикристаллическая состоянии это менее

одного процента твердого тела то есть мы сейчас говорим про все остальное про 99 процентов вещество в

твердом состоянии но вот опять же живые организмы они любят оси 5 порядка вот

почему это так мы с вами говорили в прошлый раз почему заполнить

значит вот потому что они живые организмы вредные да потому что они

любят повыпендриваться перед неживой природой потому что им очень страшно если они возьмут неожиданно образует

симметрию свойственно кристаллическими многогранниками живой материи как бы не помереть раньше времени этого никто

делать не хочет так вы понимаете поэтому на всякие лучи случай эволюция сделал так что живые

организмы они статистически предпочитают оси живых порядков а именно пятерка

семерка и так далее вот таким образом даже по симметрии мы можем разграничить

живую и неживую материю это то что касается поворотных осей

что же у нас происходит с элементами симметрии второго рода какие вы элементы
3. Элементы симметрии II рода

симметрии второго рода знаете уже известная нам этого это что у нас это

пару плоскости до зеркального отражения и центра на версии такая хитрая .

которая происходит отражение фигуру со сменой качества то есть право фигурка вращается влево и левое вправо напоминаю

что плоскости обозначается латинской буквой п связывать лена анти аборт на

равна разные части нашего в том числе многогранника вот например

здесь я могу разрезать нашу чудесную серу такая плоскость на

зеркально равная левую правую часть так я могу разрезать на верхней нижнюю часть

который тоже будут зеркальная между об особой связаны вот и я уже не побоюсь

показать вам проекции поскольку вчера мы на семинарском занятии приступили зависимости от ориентации плоскости

относительно нашего чертежа двойная линия может быть как кого-то

реальной окружностью случае горизонтальной плоскости так идут протри мой линии в случае если наша плоскость

вертикально а в общем случае это будет меридиан такое да дуга большого круга

причем обратите внимание я нарисовал только половинку тор и находится в северном полушарии это

сделано из-за соображения студента любя чтобы не загромождать чертеж потому что

мы прекрасно понимаем что я должен продолжить сделан туда и нарисовать пунктиром

но принято принято рисовать элементы симметрии только те которые находят

северном полушарии потому что мы прекрасно можем достроить нижние полушария южная но при этом количество

разных пометок на чертеже будет сильно больше а поскольку нам еще потом грани

наносить лучше чертеж не загромождать вот поэтому это мысленно мы достраиваем

но не рисуем применительно к элементам симметрия рисуются то что видит южный

наблюдатель все что находится в северной полушарии вот центр

от особая . тоже элемент симметрия второго рода

графическое символьное обозначение и еще важно что нам нужно вспомнить что
4. Эквивалентные и неэквивалентные элементы симметрии

существует эквивалентный они эквивалентны элементов симметрии именно поэтому вам нужно носить цветные карандаши потому что когда он через

некоторыми дает надоест рисовать штришки вот можно воспользоваться цветными карандашами чтобы указать на то что в

этой египетской пирамиды две системы плоскостей не эквивалентно 1 проходит через центры граней треугольных а вторая

через ребрышки поэтому я обязана рисовать одну плоскость и не а другую плоскость желтым примеру ауслу

четырехгранной пирамиды я обязана рисовать их всех одним цветом потому что никве валентной связано чем поворотом на

120 градусов вокруг вертикальной оси в третьего порядка вот уже разобраны нами

замечательный прямоугольный параллелепипед которая не взял на которые нарисованы доске которые в

строительстве называют уменьшительно-ласкательным словом кирпич на имеет все не эквивалентны элементы

симметрии потому что все плоскости не валентные все оси второго порядка не

эквивалентны следовательно полная запись вот этого комплекса элементов симметрии кирпич акса и

ромбической серы тоже выглядит именно так я должен покрасить его сил разный цвет все плод

сей разный цвет и у меня есть один единственный центр поэтому я его покрасил отдельным цветом потому что он

один он либо есть либо его нет но как мы сегодня же выясним можно сказать что он

здесь трижды рожденные вот это что ничего бывает 7 лишь до

рожденные центр это тоже нормально вот есть он обязан был появиться три раза он и появился но на 1 хорошо

последнее что я хотел напомнить что когда вы вы описываете находите набор
5. Описание элементов симметрии

элементов симметрии данного класса вы выписываете начал элемент симметрии

первого рода то есть поворотные оси причем начинаете с асей высшего порядка 300 что больше двойки потом оси второго

порядка разбивая их по группам потом элементы симметрии второго рода причем сначала плоскости тоже разбиты по

группам потом центр в том случае еще он присутствует ваши многогранники вот данная вот фигурка которая

представляет собой удвоенную египетскую пирамидку относительно горизонтальной

плоскости вот мы и потом будем звать by пирамиды потому что то что сверху то есть снизу находится вот обладает утопил

набор мощь четвертого порядка 2 оси второго порядка одного сорта вот они они

в этой вершине вот иду до переворачивают наш объект 180 градусов вверх вниз здесь

две оси второго порядка который проходит через центр этого ребра вот уже две

системы плоскостей которые мы разбирали возникла третья плоскость горизонтально

который такая же на другой она по-другому разрезает наш объект на 2 и найти аморфной половинки и

центр который в этом кристалле родился 5 раз подряд а вот такая вот история ноги

и того сколько всего элементов симметрии есть в кристаллах если перечислить принципиально разных 5 разных осей до
6. "Волшебные" оси симметрии

или 12 entry м46 и давай дверь и два

принципиально разных элементы симметрии второго рода это плоскость и центр этого

всего лишь 7 элементов 7 как-то мало да вот и оказывается

существует волшебный элемент симметрии который реально присутствует в кристаллическом нога гарантии пока

теорем еще своего буду доказывать а вы будете стараться и опровергнуть вот

постулат который мы говорим сейчас будем говорить к элементам симметрии второго рода относятся как обычный элемент

известной быту зеркальной плоскости с интером версии так и волшебные элементы симметрии

недоступные магглам и и знакомые нам вот это зеркальная

поворотная либо инверсионные осень как они работают

часть я скажу сразу смотри такой волшебные сложные элементы симметрии

позволяет совмещать фигуру путем двойной и настоящий мнимой операции поворота

операции симметрии первого рода и какого-то какой-то операции 7 3 2 рода

при этом промежуточного результата нет есть только суперпозиция этих двух мем

их операции ночной вещественной суперпозиция двух мнимых операций сейчас постараюсь объяснить на пальцах

смотрите вот я вижу свою левую руку я могу ее повернуть моей трясли на первом

занятии дании на кратно вот я осуществляю поворот вокруг какого-то угла вот моя стартовая позиция мои руки

вот я повернул на какой-то угол кристалл графическими крыса графический плевать и потом отразил вокруг плоскости допустят

плоскость вот здесь вот теперь смотрите я говорю что меня вещественно только первые 3 позиции 8 стартовая позиция

руки вот моя конечная позиция вот какой элемент симметрий осуществляет вот такое

действие правая рука превратилась левую значит этот элемент симметрия обязательно второго рода да дальше если

у меня горизонтальная плоскость в которую отразился где вот здесь если она была у меня вот

здесь было бы левая правая рука ее нету весям я здесь поворотная ось конечно нет

потому что вот здесь была моя такая же рука у меня есть только исходной и конечной оппозиция а вот

есть у меня что у меня есть место входа волшебный портал где моя левая рука

нырнула в подпространство вы нам нужно правой рукой но реальной плоскости нету

реального яси второго порядка не то есть две вот эти составные мнимые операции

которые обеспечат не какое-то вещественное действие вот мы сейчас

сделаем следующим образом вы пытай вы мне не верите естественно вот совершенно

правильно я вас буду обманывать на обманывайте буду теоретически подкован а то есть я на ведущая с некую

теорию мы выйдем потом поиграем веселую игру подумаем если все это можно заменить

набором простых элементов симметрии ты всей этой теории никому не нужна а вот если нет тогда вам придется принять на

веру что они существуют вот как то так для начала раз я постулирует что эти

элементы симметрии существует значит они должны иметь свои обозначения для них придумали обозначений зеркально

поворотные оси обозначается латинской и со кружочком из теста с порядком оси да

то есть это поворот венка на угол обеспечивающий порядка массе н и

последующие отражение в несуществующей плоскости вот a version авось

обозначается латинской вы на счету курс заглавной курсивный буквально уже с черточкой чтобы отличить ее от обычной

маггловской поворотной оси и означает что сначала повернулся на какой-то угол

вдоль оси иного порядка несуществующие а потом отразился в несуществующем центре

вынырнул наш мир но как хорошо идем

дальше вот что есть по идее что мы делаем мы должны проходить сквозь стенку современно перекрашивания право фигурки

в левую вот такой операции предварительно осуществив операции поворота еще и важное наблюдение которое

мази а вот смотрите вот вот эта , пускай она будет правая ладно я уже нарисовал

проекцию вы понимаете что вот здесь есть усеинова порядка который втыкается в центре окружности а вот то что за

точечного так двоечка это левая , который находится 805 аудитории то есть она прошла сквозь

стенку хорошо договорились вот смотрите как я из правой , 804 аудитории должен

получить левую запятую 805 убиты я должен повернуться на нет первого гола альфа согласно здесь я должен включить

какой-то механизм прохода сквозь стены отразится сквозь стенку возникнуть 805

аудитории в которой идет там русский язык семинар там да и с удивлением семинарист обнаружит себя левой запятой

вот понятно да но обратите внимание я

могу вот в эту левую запятую 805 аудитории попасть вторым способом

смотрите я могу повернуться никак числе

ходят с эфир платим как спортсмены били по стадиону что бы лбами не столкнуться против часовой стрелки на угол 180

градусов минус альфа я вот здесь открыть магический портал 2 типа

отразится в несуществующем центре и опять я попаду в ту же самую левую

запятую и 805 обратить его и другим способом то есть теория гласит что между

магическим магической операции зеркально поворотной осью и inversion на оси есть взаимосвязь

азамат есть такая операция каждый зеркальная с элементарным углом поворота альфа может быть заменена операции

инверсионной оси с элементарным углом пор от альфа штрих равна 180 градусам минус альфа и это поворот осуществляется

в другую сторону но это так чтобы нам было проще работать дальше

осталось научиться перекрашиваться переходи сквозь стены и понять вообще это есть или нет пока кажется не очень

вас убедил да как бы штате элемент симметрии есть мы с ними не сталкивались бы tool ну ничего страшного еще

столкнемся может быть вот поэтому сейчас заднем я еще раз повторим задачи которого решаете зачем нам это надо то

есть говоря наукообразными взяли эти сложные на первый взгляд на ду он ее преобразование заметь набором

известных вас вам простых 7 элементов симметрии вот действительно для описания симметрий

некоторых кристаллов этих семи простых элементов будет недостаточно чтобы

ответить на этот вопрос давайте проанализируем все кристаллографические порядке асие блага их немного посмотрим

что такое инверсионная ось иного порядка что такое зеркально поворотная с и но порядка нельзя ли его заменить набором

простых элементов всего лишь на оке значит мы опять с вами grand cola мы

будем крутить кого не запятую кошку собаку там кого сел

кошку отлично ведь у меня поскольку мальчика ленивы я буду рисовать кружочка крестик

до красного цвета но вы помните что эта кошка кошка право либо кошка левая на

соответствие пускай все кружочки it but про крота правые кошки в нашей аудитории а все крестики будут левые кошки 805

аудитории хорошо тогда будет проще следить значит смотрите что такое зеркально поворотная ось и на первого

порядка порядок кассе что такое 360 градусов

деленное на что на янтарного пара чему равняется элементарно углу поворота оси

первого порядка напоминаю 36 раз значит кто из вас ходит на физкультуру в группу

пуппер люблю как атлетике вот вам что говорит пробегитесь им кругов да вот вы конечно

пробежали пять кругов осколе что пробежали 7 или даже 8 что вас похвалили можно дойти до особого цинизма можно

остаться на месте скалишь я уже пробежал круг чему это говорю что поворот на 360 град спор 1 0 градусов это одно и то же

поэтому давайте осуществим путешествие наши кошки на 3 sun' grants либо на ноль

десятых хитрая ленивая кошка оно ничего не сделало якобы обижала полный круг ну

дальше что с ним произошло она пошла в магический портал и отразилось в левую

кошку то есть при мы здесь на ваших портала вот здесь она заразилась сейчас кончику в крестик то есть левая

кошка в соседней аудитории давайте чем мы можем связать правую кошку вот это

красненький крестик с левой кошкой той аудитории по моему это просто плоскость

плоскость нашего экрана обычная горизонтальная плоскость согласно потому что поворот на задам случае мне и мы его

как бы нет вот давайте проверим действительно ли поворотная зеркально

поворотная ось первого порядка с элементарным углом поворота 360 якобы

градусов и то есть инверсионная ось порядка с углом 180 минус ноль то бишь

второго порядка да вот давайте посмотрим как и могу получить левую кошку 805 из

нашей правой кошки вот здесь давайте я бегу вот так вот на 180 градусов вот

сюда и здесь войду в портал другого сорта и от рожусь попаду действительно работает да отлично то есть мы

договорились что зеркально поворотная ось первого порядка надуманной мой

классификации волшебных оси и инверсионного из второго порядка это одно и то же и может быть заменено

просто горизонтальной плоскостью поскольку чаще всего мы втыкаем от

вертикально вот в этом направлении ось z я здесь написал pdp z нормаль который идет по координатам направлении за это

поскольку координатные направлениям еще не очень ориентируйтесь нас их много мы не в математике где обходится 1

декартовой системой у нас значительно все красивее сложнее поэтому пока примите на веру это p z на плоскости

хорошо срочку один разобрали вариантов для чуда у меня остался лишь 4 идем

цифру 2 но прежде чем пойти в цифру 2 можно

отметить что когда мы чистим утром зубы мы можем красиво скачи мы смотримся в inversion носит второго порядка хорошо

идем дальше зеркально поворотная ось второго порядка что это за зимние вот

это инверсионная правопорядка люби зеркальный поворот первое в исполнении стиля барокко как

пример она вот это равняется 2 что я дел что делает мать мойка шаг правой он

бежит по часовой стрелке на 180 градусов от сюда да здесь он входит в магический

портал и выныривает левой кошка 805 аудитория вот здесь вот есть у нашего

портала здесь вы нужно левым крестиком крестик это кошка левая кто и аудитории на помин а вот давайте посмотрим

действительно ли или зеркальное 2 равняется r со штрихом один как следует

из уравнения потому что 180 минус 180 вроде как 0 то бишь 360 смотрите что

могу сделать я могу отбежать и себя глупая кошка в эту в другую сторону

роста на 360 градусов и отразится в центре и попаду туда же могу ничего не делать просто отразится сн3

соответственно ответ лежит на поверхности инверсионного из первого порядка либо зеркально поворот на это ни

что иное как обычно известный нам центр инверсии вот это центр на версии

действительно это правая кошка это левая кошка связано отражением в центре которой находится здесь ровно посередине

кирпича стены который соединяет наши две аудитории обращаем внимание что

повторная операция вот этого крестиком вернет нашего нашу кошку на место то

есть двойная операции плоскость и центр она обладает как бы кратностью 7 3 равна

ингу она удваивай это удваиваю щи и лимит симметрий а сейчас тогда пойдем

цифру 3 6 и 4 нам будет не достаточно двух операций мы должны будем проделывать все наши путешествия

правых-левых кошек пока мы не вернёмся в исходную позицию их может быть больше чем двора так что

приготовьтесь внимания и так зеркально поворотная ось третьего порядка что это

такое это некое волшебное устройство сначала поворачивает на 120 градусов по

часовой стрелке и отражает потом в горизонтальной плоскости мы попадаем 805

говори давайте посмотрим как это работает но сначала послойно типичная

россия новость первого порядка это фоку это фокус в данном случае кто minolta да

но вот n равно 3 значит альфа 120 градусов нам сейчас пригодится умение

разрезать пиццу на шесть частей поровну это важное умение потому что когда вы будете рисовать еще 3 6 вы обычно вот

этот центральный сегмент делайте градусов 90 остальные по 45 естественно потом вот этот кусок пиццы постарайтесь

взять себе это отдать подружка это нечестно поэтому старайтесь разрезать круг ровно на 6 частей чтоб сегменты

были 60 градусов иначе вам трудно будет работать со всеми 3 6 порядка и так

поворот на 120 градусов смотрите что я делать поехал кошка моя побежала побежала здесь одна что не слышу вошла в

портал убежал сквозь стенку превратился него левый в левый крестик

зафиксировали наша левая кошка побежала дальше но не знаем еще один за мышкой

допустим побежал по кругу здесь что надо вспахать а я пробежал 120 градусов пора бы

вынырнуть правой кошку 804 аудиторию дальше мы побежали побежали побежали

вернулись исходной позиции но портал нам навязывать путешествие 805 аудиторию

здесь следующей операции превращает наш крест потом крест бежит сюда превращается в правую кошку левой окошко

и только 6 операция совмещает мне самим собой и получается вот такая вот картинка 3 кошки правое здесь три кошки

левые подними вот давайте подумаем во-первых действительно ли это

инверсионного шестого порядка потому что 180 минус 120 как 60 до смотрите как его

первичный вот это левый крест могу получить что я делал я вращаюсь другую сторону 60

градусов рожают в несуществующем центре то что он здесь не существует авидность картинки а если здесь горизонтальная

плоскость смотрите как связывается каждый крестик с каждым роликом который

под ним по моему просится по с провести до чудесность плоскость здесь оказалась настоящей а что связывает

каждую от группировку 0 и крестик друг с другом через 120 градусов конечно

надеюсь детстве вам мама говорила что с третьего порядка то устройство поворачивающих пространстве на 120 градусов а что там

будет с парка из двух правых-левых кошек как мне все равно что крутитесь и оси третьего порядка то есть что можно

сказать что энвер зеркально поворотная ось третьего порядка тождественно равна

inversion на оси шестого из не что иное как ось третьего порядка и горизонтальная плоскость

опять простой набор элементов симметрии на все лишь две строчки осталось чтобы как бы спасти наши волшебные эти учения

да хорошо идем в порядок 6 почему 6 перед 4 потому что мне надо перерисовать

чертеж спицы разреза на шесть частей на хорошо знать как действует это вообще

чума зеркально поворотного шестого порядка посмотрите внимательно я совершил

путешествие всего лишь на 60 градусов здесь что сделал прыгнул прыгнул сменив

качество 805 аудитории превратился в левый крестик вот то что покрашена

красным цветом switches на то что пунктиром это место входов магический портал да дальше мы крестик побежал мужчины 60

градусов вынырнул ноликом нолик побежал вынырнул крестиком крестик ноликом 0 и

крестиком наконец 6 операций возвращает мне в исходную позицию проверяем действительно ли это

инверсионной с третьего порядка потому что 180 минус 60 есть не что иное как

120 давайте посмотрим я пойду вот сюда час уже на 120 градусов здесь войду в

портал и отражу через несуществующей якобы центры и попаду сюда давайте

посмотрим на эту узор из трех лево х3 правах кошек расположенных немножко по-другому относительно друг другу чем в

предыдущем случае что мы наблюдаем как мы можем связать

все эти шесть фигур вдруг другом какими элементами симметрии смотрите внимательно чертеж напоминая

кружки красные как как правые крестики нулевые 8

третьего порядка нс и безусловно она здесь есть она свяжет все кружки между собой все крестики между собой мне всего

лишь надо осталось связать кружок и крестиком каким образом смотрите

кружок через 108 правый кружок через 180 градусов влево принести правый кружок через 180

конечно вот что это такое l3 и центр это у меня есть то опять на простой набор

элементов симметрии что ж такое-то чудес-то на свете похоже не бывает да

вот только маленькие дети верят чудеса значит давайте подытожим эту строчку

инверсионного из 6 3 порядка она тождественно равна зеркально поворотного se 6 и может быть заменена простым

наборов элементом симметрии ось третьего порядка и центры на версии теперь давайте рассмотрим

о зеркально поворотного с четвертого порядка решив что чудес на свете нету

выглядит это следующим образом посмотрите внимательно кошка какой она

здесь живет правая правая кошка

повернулась на 90 градусов по часовой стрелке и отразилось левую кошку 805

аудитории левая кошка 805 аудитория по совершила крупный обижала 90 градусов

отразилось в правую кошку в наши 804 аудитории правая кошка отразилось левая

кошку или сдачи 4 операции вернулся на место обратите внимание у меня возникла четыре фигуры которая должен связать

между собой кружочки правые а крестики

левые каким элементами месси какими элементами симметрии могу их связать

центра здесь нет потому что дам под ноликом буду видеть было крестик а под крестиком над крестиком здесь

был но не к оси второго порядка такие горизонтальные которые некоторые особые хитрые студенты предлагать тоже не

предлагать почему потому что мы помнить им отрезали руку на первой лекции как ни

крути левая кошка правой кошка не станет напоминаю что это лего это правая так

вот оказывается что вот такой вот набор обратить внимание здесь порядок

инверсионный зеркально поворотной оси выравнялись между собой нельзя заменить

набором известных вас вам простых маглов ских элементов симметрии это называется поскольку в современной

кристаллографии предпочтение отдается inversion им составляющему чем все равно как называть как вы видите начну принято

графические обозначения и символьный давать inversion нам осям как договорились свое время люди вот у нее

есть свое текста во изображение которое у нас не было в наборе из простых маглов

ских элементов симметрии более того они встречаются в кристаллических многогранников и она имеет свое

графическое обозначение знак физо по диагонали вписанный в квадрат это

называется инверсионная от четвертого порядка вот значит посмотрите у нас есть

такое модели которые это креста олег где есть только инверсию на 4 порядка и

всего-то носить проходит обратить внимание вот эта грань и эта грань это

грани одной простой формы то есть они равны по своим геометрическим характеристика модели зерна

многогранники по физическим характеристикам в реальном кристалле и как она попадает одна в другой

посмотрите я повернулся на 90 градусов вокруг несуществующей оси и отразился

вот здесь вот той плоскости которую на меня мелькнула на секундочку а и это нет

реального эта фигурка право это левый его грани вот этой второй простой формы они тоже связаны соотношение проваливай

отпустите по рядам можете как-то организовать обход и вы

убедитесь что это ось реально существует и нее нельзя заменить набор это вот чудо

и и вот такой я нельзя заменить набором простых операций симметрии вот этот

кристаллик нарисованный здесь у нас вот схема действия данной

оси мы видим действительно что плоскость здесь присутствует только виртуально не

всегда а только в момент входа в портал потом она пропадет и могла ее не увидит никогда вот а здесь приведены некоторые
7. Иллюстрации действий простых и сложных элементов симметрии

похожий элемент действия похожих элементов симметрии обратите внимание просто r4 что делать она только правой

фигурки крутит верхней полусфере ведь что делает набор r два штриха льда два

штриха и 23 штрих к живности осевой набор кирпича у меня тоже все фигурки будут правы и

мне будут чередоваться причем обратите внимание специально взяла симметричный треугольник чтобы увидели как это

работает темные 3 темные треугольники находятся 805 но они все правые а вот как действует 4

чертой инверсионная о четвертого порядка vaper видим что это на действительно

поворотная составляет черно 90 градусам отличие от вот этой поворот на

составляющие 180 и у меня передаются правые левые фигурки 804 705 аудитории

вот правда здорово обнаружить новый элемент симметрии которые подозревали

которых существование которому и не догадывались вообще они есть мало того что много чего не знаем они существуют в

природе это первый какой важный вывод мы можем сделать из этого заключения помимо

того что существует нас волшебное осень а то что посмотрите внимательно мы

заменяли зеркально поворот на вас первого порядка то бишь инверсионной 2 чем центром да вот плоскостью а

инверсионная 1 либо зеркально поворотную второго центра но мы можем сделать все

наоборот мы можем не пытаться заменить сложные оси набором простых

вот наоборот мы можем сказать что все без исключения элементы симметрии то оси

просто некоторые из них маггловский который не умеет фигурка перекрашивать с правую левую а некоторые волшебные

которые умеют это делать значит что какой важный вывод мы живем в мире волшебных и обычных тривиальных россии

симметрии все элементы симметрии макроскопическое кристаллографии оси и

некоторые из них был по недоумию называется плоскостями некоторые называется центром значительно красивее

скользит инверсионного с первого порядка любит универси область второго порядка договорились о тех знаний о том что все

элемент 7 3 оси нам сейчас пригодится и буквально скоро вот оки и того сколько всего элементов

симметрии есть кристаллических многогранников есть и полчаса назад мы обыскали что 7 теперь можем сказать

сколько 10 правильно давайте посчитаем или 12 лет реле 46 маггловским

инверсионная с первого порядка она же в быту c инверсионного старого она же

п инверсионная 3 она же или три цели 1 4 которую нет аналога обычного и

инверсионной 6 который может быть заменен или 3 п кристаллы живут в мире простых и волшебных элементов симметрии

переходит проецирование для того чтобы не просто описать что вот есть кристалл
8. Проецирование кристаллов и элементов симметрии

такой-то отдать его точную характеристику нам потребуется фиксировать строго в пространстве все

все его элементы симметрии все его ребра грани и другие интересные точки на поверхности

нашего кристалла мы должны прибегнуть трем способам проецирования кристаллов у

которого уже знаете первый способ построить сферическую проекцию что это значит это значит мы прибиваем

кристалл гвоздями в начало координат нашего нашей координатной системы в центр мира

вокруг него строим сферу бесконечного радиуса там в районе туманности андромеды примера

зачем сфера должна быть бесконечного radisson ну чтобы размеры кристалла были

ничтожными относительно размер этой сферы то есть например все все ребра проецировались на экватора и в том

случае если не горизонтальные либо если вы не можете делать бесконечную космическую сферу вы делаете сферы

конечного родиться надо говорить и что все все плоскости и все ребра все

остальное вы сносите параллельно через точку проходящего начала координат не при удобнее пользоваться бесконечной

сферы вам как бы конечной сферы вот значит сфера сферическое проецируя прекрасно тем что она не изменяет

никаких и угловые и масштабные характеристики ну а имеет один недостаток какой опять же в магазине

аргумента еще не научились продавать трехмерных тетрадок тем более сферических тетрадок сферической формы

поэтому мы каким-то образом должны снести ту информацию которую мы получили

на поверхности сферы я не буду сейчас подробно останавливаться что выход оси это место протыкания что плоскость она

может быть такая такая и так далее да вот вам об этом вчера уже говорили поэтому я могу здесь немножко проще себя

вести вот дальше нам нужно сколько людей чтобы сделать стереографической проекции

что такой стиль и графической проекты это проекция того что я вижу всего того

что я вижу на сфере на экваториальную плоскость сколько нам нужно людей

сколько нужно наблюдателей нам нужно два

наблюдателей до 1 живет в северном полушарии другой в южном полушарии вот

здесь сейчас красными линиями продемонстрировала продемонстрирована

работа южного наблюдателя которое живет в южном полюсе южного полиса смотрят и описывать северное полушарие

то есть он видит все что находится в северном полушарии и рисует все это на

экваториальный плоск всего здесь снизу да как бы вот эти красные точки все это образы синих точек на поверхности сферы

видим да вот знаете что есть такой анекдот про

сколько милиционеров множество завернуть лампочку электрическую да сколько 7 либо

чем-либо пятницу 5 либо 91 сайт на табуретке держит лампочку четверо носит

табуретку крутит ее а еще четверо бегай другую сторону чтобы у тех не закружилась голова мы можем конечно

скачать нам нужен 2 наблюдателя но можно сказать что нам нужно один быстрый наблюдатель который после того ка писал все в северном полушарии бежит

северный полюс и смотрит сверху вниз на нашу поверхность и описывает все об южном полушарии пять начинаем нужно либо

два медленных наблюдателя либо один быстрый который выполнить двойную работу это же как вам больше нравится вот

значит но это еще не все помним что помимо того что мы рисуем то что мы

видим на сфере на плоскость проекты мы должны нарисовать не то что видимо

нормали к тому что мы видим перпендикуляры почему потому что сим будем рисовать грани как образы

плоскостей то вот в этом кристалле сколько у нас грани его описывали на

семинаре по этого смелов спрашивая до 8 + 8 + 4 + 2 вы должны будет нарисовать

двадцать две дуги большого круга сейчас я покажу как вам как это будет выглядеть примерно вот причем обращая внимание

линии будут там двойные я нарисовал две-три еще нужно 19 то есть чертеж мой

будет засоре он настолько что это сделать невозможно поэтому когда обращаются к проецированию грани

проецировать не сами грани а их нормали который проецируется виде точек на че

смотрите плоскость нормали к плоскости то что это направление то есть это будет

только . есть правда другой плохой случай нормально направлении есть плоскость до

этим прием будем пользоваться когда вам рисовать на так называемые зоны да про них вы тоже уже знаете семейства грани

пересекаешься по параллельным ребрам и про это тоже не поговорим еще таким образом при

построении проекции кристаллических на грани xxi водится тому что мысленно

строится сферическая проекция всего что-то полезное по словам всего это

элементы симметрии и интересные объекты в крис сама многогранники а именно грани

ребра и так далее дальше строится стереографическая проекция элементов симметрии причем обращаю ваше внимание

строится лишь только те элементы симметрии которой находится в северном полушарии который в южной додумывается

не надо рисовать два выхода наклонной оси мы рисуем только ось верхней полусфере а в нижней с другой стороны

она подразумевается не хотим засорять рисунок лишними избыточными значками вот тоже самое плоскость есть

это дуга большого круга рисуем тот имеет тот полу меридиан который находится в северном полушарии о южной симметричном

и как пунктир на сегодня представляем на не рисуем вот а дальше наносится gnome

стереографические проекции гранит есть серия графический проект нормали граням

в виде кружочков и все грани находится в северном полушарии либо крестиков из и грани находится в южном полушарии эти

положения нормали сдаются с помощью гони метрической информацией с помощью сферических координат откуда берутся

сферические координаты и специально обученных приборов мне называется гониометра по-гречески гонят что угол

метр merida road измерители углов они бывают разные иногда даже высокоточные вот но вот это

как изображение нашей чудесной модели для проецирования также напоминаю

что сферические координаты имеет буквенное обозначение фиерро fi это

сферическое долгота да она меряется отсюда вот и по часовой стрелке

сферическая долгота обозначается буквой рого что делает географа и не хочу

сказать что они у люди не умные но у них есть избыточной информации а именно лишние буквы ss и в.д.

который очень трудно запрограммировать вот надо этого избежать иначе смотрим

широта в географии она мериться почему-то вдруг от экватора в две разные

стороны требуют приписки буквенного обозначения где вы находите серверном полушарии ли в южном полушарии

оставим это для обитателей двадцатого этажа поступим на вниз камни и зафиксируем 0 на северном полюсе вот

здесь вот и будем спускаться дара равна 180 градусам и рост 180 градусов ровно

южный полюс у нас а все что 90 градусов это нас экватор поэтому если вы видите

цифру все это меньше 90 значит вы гарантированно хоть северном полушарии если увидите цифру больше 90 град вы

гарантированно находитесь южном полушарии как если там уровень 90 значит скорее всего будет очень жарко потому

что вы находитесь на экваторе вот что что из себя представляет долгота это

вообще глупость с какой стати мы должны иметь какого-то гриб бича наша страна вытянута запада на восток

основная часть нас на востоке находится давайте мы ось y наша направим на восток

и будем мерить от положительно выхода оси y то есть допустим направление на казань из москвы это будет нас нашим

нулем вот что значительно приятельской с этим будем гринвич иметь вот таким

образом значит вот эти две группы дядечек

вы знаете это чудесная история если вы сказали зимой там 12-го года что они

идут точки сырого равны 180 град они конечно очень удивились потому что по тем астрономическим прибором которым они

пользовались там были зашит как же географические координаты вольтаж ли 87 88 89 сеяли последнюю лошадь там и так

далее понимаете вот вообще-то не знает историю покорение южного полиса так

более-менее на уровне википедия так неформально или егэ по географии проходили поэтому

как бы не надо но дело в том что вы обратите внимание что южный полюс был

впервые открыт норвежской группы под руководством руаль амундсен 14 декабря 11 года вот еще не успели остыть их

среды как 17 января то есть через месяц двенадцатого года пришла группа уже

сильно уставших англичан руководство вот это удача роберта фалька на скот а вот у

них были разные мотивы разные мотивации разные средства достижения успеха я

почему про это говорю говорю потому что мы накрест плохим еще этому вернемся потому что если вы откройте википедия вы

почитаете что трагическая гибель экспедиция скотта произошла потому что

что топливные баки на низкой температуре потеряли герметичность за того что олова

перестал превратилась и металлического бета лого вольф олова раскрошилась топлива вытекло и вот в это все там

произошло почему это говорю во первых википедия это открытые источники информации

вот там могут написать все что угодно что я ел сырое мясо что у меня 7 джон да потом она отдел сошлетесь и скажет что

это вот написано вот там тогда поэтому нельзя верить всему тому что пишет в интернете потом открытый источник

информации а то он открытый что кто угодно может написать все что угодно также хочу напомнить вот хороший слать
9. Стерегогафические проекции элементов симметрии

мы на нем сейчас поговорим во первых если вы посмотрите метеорного полиса вы видите вот такую систему меридианов и

параллелей точно так же с южным полюсом у нас полис вот здесь северный он внешне

выглядит как изображение земли сбоку это не кого-то quatre наш вот так то есть наша сетка

повернута относительно и интуитивно вам знакомый географической вот так вот на 90 градусов оказывается значительно

более правильный о чем вы уже убедились кто делал домашнюю работу что расстояние

между меня точкам поверхности земного шара с помощью сетки вульфу можно померить легко за 30 секунд

сколько вес 1 градуса по на поверхности земли и то помнит сто одиннадцать километров

поэтому к измерениям относитесь очень вдумчиво потому что ошибка в один градус

это вам три дня в патайе пешком идти хорошо если вас консервы вытянулись и

без того как можно не дойти до вот один градус это много вот дальше обратите

внимание я специально вам показал как проецирует с элементами 3 не смотрите наклонного с третьего порядка вот этот

выход и и ровно через симметрично через 180 носить на центр не рисуется потому

что он южном полушарии мы не загромождает чертеж свои наклонного второго порядка с координатами нам

допустим чего рот 45 final потому что здесь этот выход ее не рисует он под но

он подразумевается он есть но не надо рисовать на элементы симметрии рисуются только те которые видят какой южные

наблюдатель вот а почему вот здесь нарисовано два значка оси второго

порядка потому что южно вид оба выход а потому что они находятся на экваторе все что на

экваторе рисуются полностью поэтому о сила такое горизонтально второго порядка

мы нарисуем вот таким вот образом два значка физо и тоненькую линию соединяющий их чтобы случайно не спутай

с двойной линии символизирующую плоскость вот в то что касается плоскостей

экваториальным вы должны нарисовать вертикальные мы рисуем as this только так а вот наклонным будем рисовать

только выход северном полушарии а вот этот выход симметричным и рисовать

не будем что опять же таки не загромождать чертеж вот а вот то что касается огранки кристаллом увы нужно

рисовать полностью потому что никто нам не обещал что кристалл сверху кристалл снизу это одинаковые кристалл каком виде

вот на этом образце да то есть набор роликов совершенно необязательно совпадая с набором крестиков вот и мы

вынуждены рисовать позади исы в этом случае северного наблюдателя который напишет gnome стереографические проекции

грани южной полусферы вот прошло

значит систематизируем значит вам рисовала татьяна сан это таблички а

немножко повторюсь значит ось симметрии на сферической проекции это две точки

место выхода нашей оси стерео

графическая проект за сие это в общем случае 1 . в северном полушарии которая проекция

этой точке но в частном случае это будет 2 . вот a gnome стереографическая проекция

направление это будет дуга это нормаль к направлению буду га вот значит плоскость

это окружность на сферической проекции образ окружности на проекции половина долги и в общем случае в северном

полушарии а вот в новость я графическая проекция плоскости будет ни что иное как

. точно управление вот грань кристалла

значит это будет некая окружность образ окружность это будет та же духе до но мы

рисуем точки и рисуем точки виде кружочков и крис кристи крестиков чтобы показатель не верхней полусфере или в

нижней пускай вот поэтому смотрите допустим задачи вам найти gnome

стереографическая проекция ребра по которой пресекаются две грани такие-то

включаем принцип дословного перевода gnomes tea графическая нормаль к ребру нормаль к ребру это что нормально

направления это дуга то есть мы если вам в одном из себя графические работы начнем если

графический проект сохранишь такой это точки вот у вас в результате ваших гони метрических измерений вот вы получили

допустим вот один нолик да в результате заодно ferrad 2 нолик дальше вы нашли

вот этот меридиан по которым они пересекаются это есть собственно говоря гномы сфере

графическая проекции данного ребра по которым пресекается эти две грани осели графической проекция ребра вы его

вращайте на 90 градусов и отсчитывайте вот так 90 будет точкой вот здесь ваша ребро пересечет ваша стереографическая

проекция потому что нормально это пардон 90 градусов вот это

стереографическая проекция ребра а это gnome стереографическая проекция ребра по которая пересекает вот эти

пересекаются эти две грани жутко интересно и очень логичны и на самом деле вот еще важное замечание вот это

наш кристалл он называется у нас чижиком назвать это класс симметричен 42 и 2322

два штриха вот он не лишён центра но здесь смотрите

вот поскольку наклон вот этой грани наклона эта грань и одинаков я вынужден

и грани 4 простой формы и третье разместить одну под другой но чтобы показать что эти разные простые формы

пришло разные цифры вот они ничего другого общему не имеет просто случайно

получилось что наклон у них одинаковая относительно экватора на плоскость здесь нет а вот еще важный момент когда вы

берете какой-то анизотропной асимметричная кристалл его надо делать

так чтобы и самое интересное направление всегда была вертикально смотрела то есть описывать крест вот такой кристалл был

вот таким вот образом этот кристалл естественно таким образом чтобы свет направлением 190 то есть на северный

полюс у вас смотрела самое интересное о симметрии в данном случае 4 порядка то есть вы его можете поставить вот так и

описывать либо как вы обычно делаете на столах ставить на стол смотрит неё сверху

это все равно либо вращать наблюдатели либо вращать как бы объект главное чтоб

праздник своими сеть 1 с другими вот про то у то зональной грани вам тоже

10. Таутозональные грани

говорили я специально взял этот сигнальный призму значит смотрите семейства грани пересекающих

параллельным ребрам видите поскольку вот это направление я все и анус и в меню с

началом координат уравнение вот этих шести ребер будут одинаковые я должен сместить эта ребров

начала координат вот то есть все вот эти грани они обязаны лечь в одну зону зона может быть

эссе кристаллом не стоит вертикально вот так вот есть я положу на бак тот ребро

будет меня горизонтальная зона будет вот такая то есть вот она а в общем

красивому наклонном случае они лягут у меня все красиво расположится вот на эту звон куда

вот а вот что если я вот эта линия представляет это как разгон о мосте графическая

проекция этого ребра стереографической проекции брала смарт я выведу сейчас вот в прямую не от читая здесь 90 градусов

по даровано в эту точку потому что в данном случае направление моей зоны будет на совпадать с направлением оси

шестого порядка то есть вообще все очень россии как сколько у нас есть в отличном

отлично вписываемся и вот на данном примере видно как дополнительные геометрические построения виде зонт

позволяет вам правильно размести грани вот на этом кристалле сьерры мы видим

что мы видим две системы и зон вот зона вот это наклонная в котором живут вот

эти грани да и вот эта зона зона вот этих вот ребер и значит эта грань

находящийся на пересечении этих двух зон она однозначно проецируется сюда и поместив ее сюда я вот эту грань уже не

имею права разместить куда-то сюда либо сюда потому что зоны у меня не бывают

вот такими как вы любите рисовать вот

такими зоны не бывают это обязательно дуга опирающийся на 180 градусов долго

они вот какая то такая штука когда вы ошиблись в грани пытаетесь там исправить свою ошибку минимально садистов ластик

seo заставим перерисовать красиво и правильно поэтому на прежде чем рисовать зон надо подумать как они проходят

вот и поэтому вот метод зон она сильно помогать потом совсем нам сильно будет

помогать над потом мне немножко вырастем и с тремя жизни им перескочим на следующий

уровень понимания как бы это будет в октябре вот а пока ориентируемся на то что

помогает нам правильно внести грани относительно друг друга хорошо вот что

еще важно сказать что сколько грани существует к и стали сколько простых

11. Комбинационные многогранники

форм может быть кристалле но на практике конечно несколько штук обычно не больше

там 10 это очень редко формально сколько угодно как вы понимаете но нет

кристаллов которые представлю свою комбинации там 100 простых форм это нос из так не бывает силу многих физических

законов может ли быть одна простая форма встречаться в огранке как мы видим можно есть на закрыты до который можно закрыть

пространство самостоятельно в данном случает это реально почему я нарисовал это райдер потому что это минимальное

количество граней плоскостей которые могут контуре трехмерное пространство это четыре грани

поэтому если вы видите у вас в огранке к intel christ простую форму из трех двух или

одной грани не надо думать открытый или закрытый конечно открыт и потому что три грани не могут пространство вот четыре

уже могут но не всегда вот поэтому чаще кончается комбинационной многогранен

здесь на привод этот сколько 12 игра на кристалл представляет собой комбинацию из двух простых форм из просто а за

открытой простую форму один который представляет собой такой квадратную трубу без зная из крышки да и

четырехгранной крышки с обоих сторон такие они надели вот причем смотри пара

стая форма 2 закрытая то есть я мысленно выберу форму один-то двоечка пространство закроет и может

существовать без единицы а единицы без двойки нет так устроен мир простые формы если не открыты они всегда

зависимые хорошо вот пару слов против арета и мы
12. Трафареты для рисования

сейчас вернемся к 3 теме нашего сегодняшнего занятия значит что делать с этим кружочком

размера 80 метров все знаете все сделали его нужно наклеить на картонку аккуратно

нет ни ножниц им для маникюра такими нормальными вырезать кружочек что можно

было обводить вокруг и проколоть 5 дырочек достаточно для того что то про лес тонкий цанговый карандаш в начале

координат и в центрах красных треугольников зачем нам нужны красные треугольники мы узнаем потом немножко

если вы его потеряли а такие люди безусловно будут вы скачиваете по это гиперссылки распечатывать еще раз и

наклеиваете кружок номер два когда вы потеряете его третий раз соответственно

повторите вторую операцию дальше двадцатисантиметровая сетка вульфа она

наклеивать на лист картона но не вырезается по окружности зачем это вы уже поняли потому что мы не сверху

кладем в калькутте крутим и она вам нужно будет достаточно долго время

поэтому носить ее всегда с собой без предупреждения мы иногда будем на семинарах задавать тренировочные задания

нога ними три на измерение углов поэтому будьте бдительны и готовы к тому что мы в любой маг семинар можем вам

предложить вы работать сеткой вульфа хорошо что еще сегодня мы должны
13. Теорема Эйлера и ее частные случаи

рассматривать мы должны все-таки вспомните о том что все элементы симметрии у нас раз оси значит важная

теорема взаимодействие элементов симметрии неожиданно называется осевой теоремой почему оси вот потому что все элементами

три оси чудесно этого яичко зовут леонард эйлер

слышали наверно по таком вот обратите внимание для 18-го века прожил достаточно длинную

жизнь хотя там очень узкую со зрением были проблемы так далее вот посмотрите

внимательно сферы его деятельности физика мать иностранными математика

вот посмотрите внимательно какая лягушка путешественница работала россия работала берлине и

работала в россии написал чудовищное количество научных работ вот почему вот

он менял германию с россией места не как перчатки какой считайте до деньги он

хотя ну а поскольку нас был такой период с государством провели императрицы там у всех голоса разных характером с

некоторыми хороших отношений была с некоторым не очень поэтому иногда вы нужны будут в

скажем так отправляться в берлин где платили априори сильно меньше чем в петербурге но потом тут же радостно

вернулся к императрице поменялось ну хорошо он он передал современный вид

сферической тригонометрии а как вы понимаете сферической тригонометрии для нас это все поскольку

все наши измерения делаются по сфере и мы задействован на углу вот а еще предал

законченность теория групп который нам тоже понадобится вот но мы

сейчас чтобы вас не пугать ее коснемся чуть-чуть я в некоторые положения скажу потому видим что это то что нам надо

смотрите что такое группа множество объектов заодно и бинарные операции у которой есть как бы 3

результирующий элемент который появляется как результат взаимодействия двух первых операции важно при этом

группой будет лишь такое множество заодно бинарные операции для которого выполняется следующее условие посмотрите

свой ассоциативности я могу переставить места местами действия у меня результат

останется неизменной существование единичного члена единично члена

взаимодействие а это есть она единичные есть а то есть как бы не оказывающий инвариантным оказывается да и

обратимости для элемент существует лимит а минус один такой что-то их взаимодействовать нам единичный член

теперь давайте перейдем сразу языковым кашников на человеческий язык кристаллографом значит смотрите

я повернулся вокруг оси второго порядка потом отразился в центре а потом это

родился в плоскости попал в точку оттяжки повернулся вокруг оси второго порядка отразился плоскость вазу в

центре я пришел в одну и ту же точку выполняется выполняется я применил ось

второго порядка потом применялась первого порядка либо ничего не сделал для нас еит и 8 первого порядка чудесно

обратим и смотрите что я делал я повернулся на 90 градусов по часовой стрелке потом раздумал повернулся на 90

градусов против часовой стрелки и оказался в исходной позиции то есть обратимость для нас тоже есть это

действие элементов симметрии в другую сторону смотрите какая там еще получается замечательная вещь для математиков то есть симметричной

операции всегда образуют группу это позволяет рассматривать теории симметрии как раздел математической теории мун

ужасы использовать математический аппарат абстрактных групп для описания элементов симметрии взаимодействие

а можно это фразы из наизнанку вывернуть это значительно приятнее смотреть сейчас

можно как произнести можно понять математические абстракции использовать

по живых простых кристалл графических образов вот именно поэтому нас очень любит математику планете теория групп

потому что единственное как бы вещественное объяснение всему тому что они пишут своими буковками то есть вот

кристаллографические взаимодействие элементов симметрии между собой вот отлично идем в машину времени теперь я

вам обещал пошли в машину времени вот значит мы договоримся мы живем в мире

обычных и волшебных россии мы сегодня же обоснование которое осуществляет некий

поворот поскольку мне начало траты закреплена в ядре земли в центре если мы

рассмотрим путешествие поверхности земли для наглядности то кого он будем

перемещать можно конечно сказать что у меня нормаль грани крутится кошку может все

не крутили давайте кого-нить еще собаку давайте студентов крутить

то есть допустим вы турист и вы перемещаетесь поверхности земли допустим вы ленивый турист вы летаете на

самолете потому что пешком долго да хорошо значит давайте

что мы делаем мы во-первых перенесёмся на даваться месяц вперед допустим я что-то скажу глупость вы создали три

четыре сессии на отличной закончили второй курс такое бывает иногда ну вот

допустим вас вам поставили положительные оценки one давайте реально смотреть под какие-то положительные оценки по итогам

4 сессии отпустили на вторую крымскую практику поскольку вы конечно не поменяете наше

деле ни на какой другой вас цель студентам я химик соединенная химики они что делать они нет на 2 практике давайте

посмотрим как это происходит вот смотрите вот красная точка из студент

москве дальше он должен перелететь в симферополь потому что он едет

бахчисарае ближайший аэропорт аэропорт симферополь вот и мы осуществляем по

поверхности земного шара вот такое угловое перемещение которое обозначил черные буквы а вот это действие какой-то

оси вращения данном случае плевать перекрашивать нас из правого студенты влево это все равно значит где находится

места выхода to see но где то вот здесь в районе там суматра га один выход а второй где-то там там в районе там типа

гудзона там будет в атлантике вот и вот нас вращать он был вращение данном случае нам все

равно он может быть не качество графический да это теорема работает для всех угловых

перемещений мы попали в симферополь провели там некоторое количество времени

а дальше нам говорят все теперь мы едем на пита графическую практику в город миасс челябинской области и нас везут

вот из точки два в точку 3 видим да у нас другая совершенно другой элемент

симметрии на нас действует назвал где-то вот вот здесь ось и где-то вон там да

как бы работы вот у нас такое вращение осуществляется по поверхностью схеме мы попали в точку 3 провели там месяц вот

заросли грязные голодные хотим домой августа на суда уехали в июне вот всех уже понятно

тяжело вот и вам говорят все практика кончилось вы в точке 3

вам нужно попасть обратно в точку 1 что вы делаете глупый ленивый студент он

конечно пойдет все полетит обратно в 2 потом проделать эти операции в обратном

направлении но спорим что есть есть две точки 1 и 3 на поверхности сфере через

них можно провести дугу согласны то сделать перемещение c который в данном случае более короткая и

вернет нафс исходную позицию с помощью другой операции симметрии которые

символизируются здесь перемещением по поверхности в виде дудец и что мы можем сказать если мы выключим

время что две операции симметрии то есть поворот и плевать какие волшебные

волшебные а и b порождает очередной вражде вращение c более того вращение с вращением б

порождает не вращение а а вращение c и вращения порождает мне вращение б то

есть эти три элемента они взаимо равные и два элементы собранных вместе

обязательно порождает 3000 такая замкнутая группа из трех элементов симметрии возникла и более того об она б

на c это единичный член потому что я вернулся в исходную точку вот правда уже

в августе вернусь на время здесь у нас выключено мы договоримся да супер значит что у нас получилось у

нас есть элемент симметрии который может само по себе 200 к нему подкрался другой то они

обязательно порождают третий элемент смит вот графическое изображение это вот

это знаете поговорку вот кто из этих трубочистов главный да нет они

равноправны aero порождают b&b порождает а и b ракетном и вот они взаимо

порождающие элементов симметрии к вот теперь давайте посмотрим нет рано

начать сначала сформулировать страшную теорему словесно на самом деле ничего

страшного нет осевая теоремы это значит она что действует на все элементы симметрии

известны нам точечных гру без исключения почему потому что и плоскости центры и то есть оси только волшебные вас на

договорились уже вот взаимодействие двух элементов симметрии двух осей симметрии мы понимаем что это можно все что угодно

иного порядка плевать каких скажем поворотных либо инверсионных приводит к

возникновению 3 оси симметрии как мы уже выяснили из этого сферического треугольника она проходит по линии

естественно и в пересечении результирующего ся кажется поворотном если работают две оси одного качества то

есть 2 поворотных либо 2 эмиссионных оси и инверсионные оси если порождающие оси

будут разного качества то есть если встречается поворотной инверсионная ось тогда результат будет inversion на ось

если две версии он на сестрицы родиться маггловской а поворотная ось если две маггловские поворотные оси строительство

тоже родиться маковская поворотная ось вот здесь разные то инверсионные это

понятно из нашего чудесного сферического треугольник путешествие по поверхности земного шара

в летом после окончания второго вкус вот ясно вроде по что появится ось вопрос

дерево искать искать можно трудно это вопрос нетривиально сейчас мы попытаемся некие закономерности выяснить на

каких-то простых частных примеров а потом попытаемся это в общем виде выяснить где же ее искать

давайте рассмотрим частный случай две плоскости встретились под углом 90

градусов пускает нет 90 это слишком часто давайте

под углом альфа знаете тоже замечательный анекдот когда там военных учениях ночи прапорщик

давайте возьмем н танков netent пожалуй многовато давайте возьмем к танков как бы ну вот здесь ладно в частный случай

90 градусов смотрите но я не кошку а правый треугольник буду отражать

что-то произойдет с правым треугольником он станет левый треугольник этого

подействовали вот и этой вертикальной оси давайте включим вот эту вертикальную плоскость измените отразились а пропали опять правый

треугольник вот здесь значит смотрите если в общем виде если все-таки угол альфа не 97 я возьму секундочку вот у

меня две плоскости вот это угол альфа где-то здесь мой

находится объект пускай это будет бета да еще отразился

согласно что это будет та же бета до а вот это чему осталось альфа минус бета

до а потом отразился опять альфа минус b то значит вы это плюс beta + альфа минус

beta + альфа минус bad получится 2 альфа все быта сократились классно начались у

меня вдруг неожиданно было 90 градусов то у меня конечно и вращение будет на 108 как видно из этого чертеже опускание

это очевидно вот но и смотрите право фигурка про фигурок через 180 по линии

пересечения пошла ось второго порядка потому что он определяется вот такие по

такому закону если встречается под углом альфа-2 плоскости результаты мы их взаимодействия будет

поворотная ось 1-го порядка определяем а углом альфа по такому закономерности 360 градусов

деленное на два альфа встретились меня две плоскости по 90 поллиниев пересечения пошла вот какого порядка 2

под 63 под 45 4 по 36

а теперь смотрим вот на этот чудесный кристаллик посмотрите внимательно у меня

есть плоскости которые идут через середину грани b-штрих

есть плоскость и которые идут через ребро и два штриха давайте я

рассматриваю их качестве поражающих элементов симметрии мне две плоскости встретились под углом 45 градусов

что обязана появится как результат и их взаимодействия с четвертого порядка

который проходит по линии их пересечении вот она она в данном случае является порождением двух плоскостей под 45 но

это еще не все весь фокус заключать ситуация заключается следующий можно на секундочку ваша ручка у меня есть плоскость

ios 4 порядка который рассмотрел в качестве порождающих и тут же как чертик

из табакерки рождается другая 7 плоскости под 45 градусов то есть меня здесь три

уникальных элементов симметрии по штрих по два штриха l4 и проходящий по линии

пресечения мне все равно кто из них порождающие кто порожденной два элемента 7 3 поражен породят 3 отлично мы с вами

рассмотрели взаимодействия двух игр сиона ha ceй второго порядка под определенным углом обратите внимание я нарисовал вам щас

угол между плоскостями а угол между inversion имя 7 будет такой же почему то что плоскость фиксируется нормальную к

ней то есть это вот нормаль к этой оси пойдет здесь а нормально плоскости свинья нормали к этой плоскости тут и

угол сохранится в 90 градусов плоскость фиксируется положением нормали к ней помним это

всегда направлении inversion оси второго порядка то направление нормали к нашей

плоскостью давайте теперь две оси второго порядка под каким то углом

повернем в данном случае угол похож на 90 градусов смотрим правый треугольник

повернулся остался правым треугольником только 805 аудитории потом повернулся

вынырнул к нам опять и опять учитывая это чудесное соотношение будет поворотная ось иного порядка проходящая

через точку пересечения двух наших оси это лишь начало координат и взаимно

перпендикулярные им обоим данном случае

под 45 градусов пересеклись две оси симметрии подставьте мне место где

должна по родиться с четвертого порядка как она пойдёт к возьмите ручку и палец

взаимно перпендикулярные обоим моим пальцем проходящей через точку пересечения его

вот здесь родилась с четвертого порядка теперь я выбирала держи убрал один палец

у меня есть ось 4 и взаимно перпендикулярно есть пусть 2 родиться под 45 еще один палец я это палец убрал

он родится как результат взаимодействия ручки с этим моим пальцем то есть замкнутые группы из трех элементов симметрии будьте до существовать в

роллерам в общем виде если встречается под углом альфа-2 поворот на оси второго порядка с результатом взаимодействия

будет поворотная ось порядка 360 градусов зеленой

а два альфа проходящая через точку их пересечении взаимно перпендикулярные им

обоим не нужно три цветных карандаша

два ассистента возьмите ось второго

порядка в визант альной плоскости найдите пожалуйста подставьте к этой вегаса канальной призме подставьте

как идет ось второго порядка в экваториальной плоскости в экваториальной плоскости в центре этой

грани чудесно можно вас попросить поиграть во второй вас второго порядка такую же на другую наверно пройдет через

середину ребра но только вот поставьте ближайшие ребром

чему равняется этот угол между красным карандашом и зеленым карандашом 30

градусов что я должен сделать я должна родить желтый карандаш который у меня

символизирует шестого порядка который проходит через точку пересечения красного и зеленого карандаша взаимно

перпендикулярен ему обоим а порядок моего желтого карандаша определяется вот этим углом дам слушать 30 значит 360

градусов разделена 60 то бишь с шестого порядка надо на многогранники мы с вами увидели взаимодействие 3 оси

из них две оси второго порядка я одна ось 6 теперь смотрите я оставляю желтый

карандаш уберите красный карандаш мы обязаны воссоздать почему как результат взаимодействия желтого и зеленого

карандаша подставляем красный карандаш убираем зеленый зеленый карандаш и родиться как результат взаимодействия

красного и желтого карандаша малевать шестого порядка появляется как из-за

взаимодействия красного и зеленого смотрите как прекрасно устроен и логично

кристаллографические все друг друга порождают все живут в мире и согласии вот всем бы так спасибо да верну

ну давайте рассмотрим третий пример

третий пример значит что у нас мы должны рассмотреть разные по качеству оси

инверсионного старого порядка и поворотного старого порядка встретились давайте рассмотрим одиозный часто

встречающийся пример под каким углом интересно под каким углом них есть

встретился на version у второго порядка и поворотное инверсионный 2 парят

напоминает у данный вертикальная плоскость она фиксируется нормалью вот она нормаль

к ней и под углом 0 либо 180 к ней идет ось второго порядка есть направление

инверсионные поворотной оси совпали вот три минуты извините возник центр то есть

инверсионного какого первого порядка потому что здесь

360 градусов как год в соответствии эта комбинация ль 2pc очень важное семьи

течет на оси перпендикулярно плоскости обязательно родится центр на версии значит на этом слайде показаны другие

варианты когда вы взаимодействует под 45 плоскость возникает 4 чертовой который

вы знаете под 30 возникает инверсионной 6 то есть зеркально поворотное 3 то есть

l3 горизонтальная плоскость и вот они возникли а когда в качестве порождающих

а у меня есть поворот инверсионная ось под 60 градусов рождается inversion новость третьего порядка l3 и центр

Donate with PayPal:

← Следующая

Предыдущая →