1. Eremin - Crystallography
| ← Следующая | Предыдущая → |
Eremin N. N. - Crystallography. Part 1 - 1. Introduction to Crystallography
1. Введение. Предмет изучения, задачи курса, место кристаллографии среди других наук
По поводу новых предметов расписание, если правильно посмотрел в расписании, в курсе новых предметов которые не было в школе в общественно берут только геология и кристаллография. Поскольку вы поступили на биологический факультет а во-вторых вам предстоит много общей геологических дисциплин включая геологическую практику на которую вы не сможете поехать не освоив в полной мере курс общей геологии, дальнейшие геологические дисциплины, так но почему мы то вот вроде как сразу сложная наука, требует пространственного воображения, к сожалению это необходимо.
2. Связь кристаллографии с другими науками
Дело в следующем, что мы являемся базой и обслуживаем все другие дисциплины биохимического цикла такие как биохимия, минералогия, гемология - слово знакомое? что это такое? да это то что в качестве объектов изучают драгоценные объекты и геохимия.
Химически практики и без усвоения основ кристаллографии невозможно двигаться вот по цепочке дисциплин, которые изучают вещество. И кристаллографии она такая междисциплинарная наука, нас одинаково как бы чтут как здесь так в том здании, который называется физический факультет, там есть как кафедра такая называется правда немножко по-другому, кажется кристаллохимия, есть и на химическом факультете. Материаловеды, им требуются знания кристаллографии поэтому можно сказать, что мы являемся некой междисциплинарной наукой, которая обслуживает многие естественно-научные дисциплины. Более того, многие современные открытия так или иначе связанные с вещественными объектами, конечно базируются на кристаллографических основах. Что я имею введу, электронная микроскопия, недавное открытие квази кристаллов, явление высокотемпературной сверхпроводимости. Эти открытия были бы немыслимы без кристаллографической основы.
3. Нобелевские премии по кристаллографии
С гордостью могу сказать, что 2014 год был провозглашен ООН годом кристаллографии, именно потому, что с кристаллографией мы сталкиваемся повсеместно в нашей повседневной жизни, знаем мы это или не знаем, что прикладная роль, кристаллография играет исключительную роль в нашей цивилизации.
Я выделил здесь красной рамкой, что нобелевская премия присуждалась 23 раза по кристаллографии. Сейчас я вам немножко прокомментирует этот момент. Дело в том, что нобелевские премии вручаются не просто так, как вы понимаете, а за определенные заслуги в областях знаний, которые важны для человечества в целом.
В области там где написано кристаллографии было 28 работ.
Вот наша геохимическая базовая цепочка по которой мы будем двигаться в течение 4 лет вашего обучения бакалавриате значит после освоения курса кристаллографии вы будете изучать кристаллохимии, минералогии, петрология и геохимии, это все связанные нами дисциплины и начнем мы с изучения Метода Симметрии.
4. Определение симметрии. Симметрия вокруг нас
Кристаллография использует присущие только ей одной метод, который называется метод симметрии. По-гречески это соразмерность, но у этого слова есть много очень широких смысловых значений, понятие симметрии использовались во многих дисциплинах.
У него есть много приложений и в быту, и в музыке, в искусстве и так далее. В бытовом плане у нас два таких сразу выплывают на ум некоторых значений, нечто обладающее хорошей пропорцией.
Это может быть применена к там geometry, поэзии, музыки так далее. И в более узком смысле это некий уравновешенный объект, который как бы обладает зеркальной симметрией. Например, здания вроде слева и справа похожи друг на друга, поэтому будем считать что но симметрично.
Для того чтобы на мы могли говорить на одном языке, нам с вами потребуется сейчас чуть-чуть поработать ручкой и карандашом и записать 5-6 определений, чтобы могли говорить на одном языке, поэтому напрягитесь чуть-чуть.
5. Основные базовые определения. Симметричная фигура, элемент симметрии, операция симметрии
Первое определение симметрии мы будем пользоваться определением который дал великий русский кристаллограф в Евгений Степанович Федоров изображенной здесь на этом слайде. Он является первооткрывателем одного совершенно фундаментального закона 7 3, о котором мы будем говорить чуть позже который стоит наравне с открытием Менделеевым периодической системы, но об этом чуть позже.
По определению Фёдорова, это симметрия является свойством геометрических тел повторять свои части в результате каких-то преобразований.
Давайте подумаем.
Во-первых, симметричная фигура это объект который может быть совмещен сам с собой определенными преобразованиями.
Например из знакомых вам, это могут быть какие-то повороты, либо какие-то отражения и так далее. Вот посмотрите внимательно например, на эту конструкцию похоже на что-то для нарезания яблок, какой-то резак. Как вы считаете, это симметричная фигура либо несимметричная? Она может быть согласно определению быть совмещена сама с собой какими-то преобразованиями. Например, я возьму сейчас и поверну на 60 градусов и вроде бы как объект совместился сам собой, видите значит согласно определение Федорова это и есть симметричная фигура, потому, что на определенном повороте в данном случае на 60 новой 120-180 240 300 360 так далее, он совещается сам с собой. Данный более простой резак для яблок он по моему тоже является симметричной фигурой, поскольку совмещается сам собой это не противоречит нашему определению.
Хорошо, нужно еще два определения. Это определение - операции симметрии, это действие, это преобразование, которое совмещает симметричную фигурку саму с собой. если это у нас симметричная фигура, то операция симметрия это поворот.
В данном случае, на 60 градусов или 120 и так далее, то есть это действие.
Еще важное связанное определение, которое нам понадобится, это элемент симметрии. Элемент симметрии это некий воображаемый геометрический образ с помощью которого осуществляется операция симметрий. То есть в данном случае это некая воображаемая поворотная ось, которая проходит вот так. Её вроде бы нет, но она виртуально присутствует, потому что вокруг нее я кручу свою фигуру. Таким образом вот наша тройка: симметричная фигура это операция симметрии это поворот в данном случае на 60 градусов элемент симметрии, это воображаемая линия вдоль которой я осуществляю этот поворот. отлично все понятно, все логично
В качестве иллюстрации посмотрите, в данном случае, нарисован похожий резак. Это его вид с перпендикулярной линии поворота значит поворот на сколько градусов здесь на 120 градусов.
Давайте посмотрим на рисунок b, это такой некрасивый резак, где лопасти расположены произвольно симметричной фигурка либо нет или да? кто за? Совершенно верно, если у нас все коряво, мы все равно можем придумать какую-нибудь геометрическую линию и развернуть объект на 360 градусов и он сместится сам собой.
Какой важный вывод можно сделать из этого заключения?
Абсолютно несимметричных фигур не бывает.
Потому-что в любом случае у нас есть поворот на 360 градусов и объект совместится сам с собой. Теперь важный момент.
6. Элементы симметрии I и II рода
Поднимите пожалуйста на секундочку ваши обе руки, одна из них является рукой правой, а другая является рукой левой. Тем более вы записали полстраницы оставьте только правую руку вот и давайте немножко поиграем, потому что, мы писали наши пальцы немножко устали.
Оставьте поднято правую руку, те у тех у кого правая рука превратилась в левую? ни у кого не получилось. Удивительно, но на самом деле то правильно, потому что любой поворот это операция симметрии первого рода, которая связывает друг с другом конгруэнтно равные фигуры, от греческого конусы совмещающие. То есть фигуры равенство вложения, то есть моя правая рука совместилось правой рукой ничего с ней не случилось, несмотря на то что я кручу как угодно выворачиваю, но не получается из неё сделать левую никаким образом.
Но есть и другие преобразования, которые создают энантиоморфное равенство (по-гречески — противоположная форма), то есть зеркально равные фигуры. Если вы сейчас еще раз поднимете правую и левую руки, давайте подумаем, чем они могут быть связаны. Вы ведь утром причесываетесь перед зеркалом? Совершенно верно.
Давайте проведем эксперимент. Одолжите мне ваш гаджет на секундочку. Скажите, пожалуйста, где у вас должно проходить зеркало, чтобы моя правая рука связалась с левой? Подставьте, пожалуйста, свое «зеркало» правильно. Не бойтесь, вот так поставьте и держите. Видите? Да, вот здесь проходит плоскость, которая отражает левую часть в правую. Это зеркальная плоскость, а само зеркальное отражение — это не что иное, как операция симметрии второго рода. Само зеркало при этом является элементом данного преобразования, связывающим правую и левую фигуры.
Есть еще один хитрый элемент симметрии, и он тоже второго рода. Посмотрите внимательно (я, конечно, забыл принести модель с резиночками, но давайте разберем так). Попрошу еще раз товарища ассистента помочь. Вот была наша плоскость. А теперь я развернул свои руки на 180 градусов относительно друг друга. Плоскость осталась? Нет, её больше нет. Посмотрите: здесь у меня палец, а с другой стороны — уже не палец. Но у меня возникла особая точка — прямо здесь, как фокус в фотоаппарате. Она любую точку моей правой руки отразила в такую же энантиоморфную точку моей левой руки.
У меня возник новый элемент симметрии — центр инверсии. Какого он рода: первого или второго? Давайте решим. Конечно, второго, потому что он связывает левую руку с правой. Таким образом, мы знаем два элемента симметрии второго рода: зеркальную плоскость и центр симметрии (его еще иногда называют центром инверсии).
Давайте подытожим. Операция симметрии «поворот» — это первый род. Мы уже выяснили, что как ни крути ладонь, её качество (правую на левую) не поменяешь. Значит, элементом симметрии здесь будет поворотная ось. В учебной символике, которой мы с вами будем пользоваться первые недели три, пока не станем чуть более умными, поворотная ось обозначается заглавной курсивной латинской буквой.
7. Графическое обозначение элементов симметрииДля графических изображений нам понадобятся следующие обозначения. Ось шестого порядка будет обозначаться правильным шестиугольником. Удивительно, но когда вы будете их рисовать, они у вас, скорее всего, будут получаться разного размера. Старайтесь делать их примерно в одну клеточку, около полусантиметра. Не нужно растягивать значок на полстраницы, иначе вы просто не сможете нарисовать на чертеже ничего больше.Ось третьего порядка обозначается правильным треугольником, ось четвертого порядка — правильным четырехугольником, то есть квадратом. А чем обозначается ось второго порядка? Правильным двуугольником! Он выглядит как двояковыпуклая линза. Можете подписать у себя в тетрадях: этот значок называется «линза», он и является символом оси второго порядка. Для чего, помимо текстовых обозначений, нам нужны графические, вы узнаете уже завтра на семинаре.А нужно ли нам графическое изображение для оси первого порядка? Давайте порассуждаем. Вот я стою перед вами — где в меня можно воткнуть спицу, символизирующую ось первого порядка? Да в любом месте! Меня тогда надо просто целиком покрасить черной краской. Никакой полезной информации это не несет, ведь ось первого порядка существует абсолютно везде. Если мы начнем её рисовать, то просто испачкаем тетрадь чернилами.Поэтому ось первого порядка принимается во внимание только в том случае, когда в объекте вообще нет других элементов симметрии. Бывают ли такие ситуации в кристаллах? К сожалению или к счастью, бывают. Текстовое обозначение у неё, естественно, есть — \(L_{1}\). Но графического значка она не имеет и учитывается исключительно тогда, когда больше ничего не найдено.С отражением все не совсем просто. Символьное текстовое обозначение здесь — заглавная латинская буква \(P\). А вот графическое изображение может быть разным в зависимости от того, как именно плоскость ориентирована в пространстве. Пока мы остановимся на том, что это двойная линия. Однако она может быть не только прямой, но и в виде дуги или даже окружности — всё зависит от её ориентации относительно координатной системы. Сейчас мы этого касаться не будем.А какой у нас остался еще один элемент симметрии второго рода, помимо зеркальных плоскостей? Это центр симметрии, или центр инверсии, который, как мы уже выяснили, является точкой. Ну, она на то и точка. Центр инверсии имеет графическое изображение в виде обычной точки. А чтобы не потерять её на чертеже, рядом подписывают латинскую заглавную курсивную букву \(C\) — это её текстовое обозначение.Вот посмотрите, как это работает: берем любую точку в правом верхнем углу, и если мы проводим через центр инверсии прямую на такое же расстояние в левый нижний угол, то там обнаружится точно такая же точка. Каждой точке правого верхнего угла находится свое строгое соответствие в левом нижнем углу.Поэтому, помимо современных гаджетов, которые вы все носите в кармане, на наши занятия иногда полезно приносить и другой «гаджет» — обычное маленькое зеркальце с хорошей отражающей поверхностью.
Ну, она на то и точка. Центр инверсии имеет графическое изображение в виде обычной точки. А чтобы не потерять её на чертеже, рядом подписывают латинскую заглавную курсивную букву \(C\) — это её текстовое обозначение.
Вот посмотрите, как это работает: берем любую точку в правом верхнем углу, и если мы проводим через центр инверсии прямую на такое же расстояние в левый нижний угол, то там обнаружится точно такая же точка. Каждой точке правого верхнего угла находится свое строгое соответствие в левом нижнем углу.
Поэтому, помимо современных гаджетов, которые вы все носите в кармане, на наши занятия иногда полезно приносить и другой «гаджет» — обычное маленькое зеркальце с хорошей отражающей поверхностью.
Подойдет и обычное прямоугольное зеркало — с его помощью очень легко находить плоскости симметрии на реальных объектах. Посмотрите, на слайде специально сфотографировано такое плоское зеркальце.
Правило здесь очень простое: если вы ищете плоскость симметрии на объекте, то при прикладывании зеркала закрываемая им часть фигурки должна в точности совпадать с тем, что вы видите в отражении. В этом случае плоскость проходит ровно по линии прикладывания. Вот на этом кадре плоскости нет — видите, зеркало приложено так, что закрытая им часть совершенно не равна тому, что мы видим в отражении.
А как надо приложить ваше чудесное зеркало к этому объекту, чтобы поймать плоскость? Вот так можно приложить? Нет. А вот так? Вот так можно и даже нужно! Плоскость проходит ровно здесь: в отражении вы увидите ровно то, что я закрыл зеркалом.
Собственно говоря, на примере этого объекта вы видите две плоскости, которые пересекаются под углом 90 градусов. Они, кстати, разные. Одна разрезает наш кирпич вдоль, а другая разрезает его совсем по-другому, поперек. Есть ли здесь третья плоскость? Я его не повернул, но она, конечно, есть.
Есть ли еще элементы симметрии, с которыми мы будем иметь дело при описании кристаллических многогранников? К сожалению, есть. Но я вам сегодня про них ничего не расскажу — исключительно потому, что я вредный. Да и вам сегодня про них знать не обязательно, иначе у вас просто взорвется мозг раньше времени, а нам бы этого очень не хотелось. Давайте сейчас немножко отдохнем и посмотрим...
8. Элементы симметрии в геологических объектахДавайте посмотрим на наличие элементов симметрии в различных геологических и биологических объектах. Вот, например, моллюски. Оказывается, все они обладают плоскостью симметрии. Причем в некоторых случаях эта плоскость располагается параллельно створкам раковины, а в других — перпендикулярно им. Палеонтологи на основе этого факта делают важнейшие выводы об образе жизни этих древних организмов, но это мы уже немного уходим в сторону от нашей темы.А вот пример чисто геологического объекта — столбчатая отдельность в определенных горных породах. Видите, здесь сами собой возникли правильные шестиугольные призмы. То, что они шестиугольные, тоже неспроста. Подобная трещиноватость появляется в строгом соответствии с законами внутренних напряжений в кристаллическом веществе, так что геометрия здесь выступает важным диагностическим признаком.А вот эта картинка — что за ерунда? Нет, это не ерунда. Если повернуть её набок, то станет понятно, что это поверхность горного озера. Перед вами идеальный природный пример зеркальной симметрии: сверху мы видим склон ледника, а снизу — его точное отражение в воде. Это очень красивая фотография, сделанная на Кольском полуострове, в Ловозерских тундрах. Озеро так и называется — Горное, оно располагается в потрясающем месте.Если вспомнить курс общей геологии, который вы уже слушаете (наверняка Короновский вам об этом рассказывал или еще расскажет), то там речь идет про срединно-океанические хребты. Оказывается, они — конечно, с поправкой на естественные природные флуктуации — тоже могут быть описаны плоскостью симметрии. Дело в том, что процесс спрединга, то есть раздвижения океанического дна, идет абсолютно симметрично в обоих направлениях от оси хребта. Эти разноцветные пятна на карте...Эти разноцветные пятна на карте — не что иное, как горные породы разного возраста и разной намагниченности. Магнитные полосы строго соответствуют инверсиям магнитных полюсов Земли и расходятся от хребта абсолютно зеркально.В общем-то, если мы посмотрим на географическую или климатическую зональность, на распределение воздушных масс и так далее, то тоже с удивлением обнаружим, что по экватору у нас проходит чудесная зеркальная плоскость. То есть в любом геообъекте абсолютно любого масштаба можно найти разнообразнейшие элементы симметрии.Вот, например, перед нами вулкан. Давайте изучим его с точки зрения симметрии. Что в нем есть? Естественно, через его вершину мы можем мысленно провести воображаемую геометрическую линию. Ось какого порядка здесь будет? Поворотом на какой угол вулкан совместится сам с собой? Его ведь можно повернуть хоть на один градус, хоть на долю градуса. Конечно, здесь будет ось бесконечного порядка — пусть вас это не пугает. Она обозначается как \(L_{\infty }\). Это значит, что при повороте на любой, сколь угодно малый угол в идеальном приближении вулкан (как конус) совместится сам с собой.Хорошо. А есть ли здесь плоскости? Вот вдоль склона провести плоскость нельзя, а вот так, вертикально через вершину — можно. И здесь можно, и здесь, и вот под таким углом... Сколько всего таких плоскостей у нас возникло? Тоже бесконечное количество! Получается, у конуса есть одна ось \(L_{\infty }\) и бесконечное количество вертикальных плоскостей.Вообще, бесконечность — цифра достаточно опасная. Это ведь не просто восьмерка, положенная набок. Это значит, что существует бесконечность минус один, бесконечность минус два, сто тысяч миллиардов, сто тысяч миллиардов минус один и так далее. И тут возникает закономерный вопрос: а сколько всего поворотных осей существует в природе? К сожалению, бесконечное множество, поскольку оси в макромире могут быть абсолютно любых порядков.Иметь дело с бесконечным количеством элементов симметрии — это, согласитесь, неудобно и даже пугающе. Уж слишком много получается. Но для вас у меня есть приятные новости. Они заключаются в том, что если объектом нашего изучения является кристаллический многогранник, то количество возможных осей сократится до смешного минимума. Почему так происходит, мы сейчас поговорим. А сначала давайте немного поиграем и потренируемся...
Эти разноцветные пятна на карте — не что иное, как горные породы разного возраста и разной намагниченности. Магнитные полосы строго соответствуют инверсиям магнитных полюсов Земли и расходятся от хребта абсолютно зеркально.
В общем-то, если мы посмотрим на географическую или климатическую зональность, на распределение воздушных масс и так далее, то тоже с удивлением обнаружим, что по экватору у нас проходит чудесная зеркальная плоскость. То есть в любом геообъекте абсолютно любого масштаба можно найти разнообразнейшие элементы симметрии.
Вот, например, перед нами вулкан. Давайте изучим его с точки зрения симметрии. Что в нем есть? Естественно, через его вершину мы можем мысленно провести воображаемую геометрическую линию. Ось какого порядка здесь будет? Поворотом на какой угол вулкан совместится сам с собой? Его ведь можно повернуть хоть на один градус, хоть на долю градуса. Конечно, здесь будет ось бесконечного порядка — пусть вас это не пугает. Она обозначается как \(L_{\infty }\). Это значит, что при повороте на любой, сколь угодно малый угол в идеальном приближении вулкан (как конус) совместится сам с собой.
Хорошо. А есть ли здесь плоскости? Вот вдоль склона провести плоскость нельзя, а вот так, вертикально через вершину — можно. И здесь можно, и здесь, и вот под таким углом... Сколько всего таких плоскостей у нас возникло? Тоже бесконечное количество! Получается, у конуса есть одна ось \(L_{\infty }\) и бесконечное количество вертикальных плоскостей.
Вообще, бесконечность — цифра достаточно опасная. Это ведь не просто восьмерка, положенная набок. Это значит, что существует бесконечность минус один, бесконечность минус два, сто тысяч миллиардов, сто тысяч миллиардов минус один и так далее. И тут возникает закономерный вопрос: а сколько всего поворотных осей существует в природе? К сожалению, бесконечное множество, поскольку оси в макромире могут быть абсолютно любых порядков.
Иметь дело с бесконечным количеством элементов симметрии — это, согласитесь, неудобно и даже пугающе. Уж слишком много получается. Но для вас у меня есть приятные новости. Они заключаются в том, что если объектом нашего изучения является кристаллический многогранник, то количество возможных осей сократится до смешного минимума. Почему так происходит, мы сейчас поговорим. А сначала давайте немного поиграем и потренируемся...
9. Упражнение: определение набора элементов симметрии различных объектовПеред нами здание МГУ. Давайте опишем его симметрию. Представьте, что мы смотрим на него с высоты птичьего полета — я сейчас покажу изображение с коптера. Давайте поиграем в эту угадайку, но с поправкой на то, что мы оцениваем только общую архитектурную форму (главный вход и клубную часть) и не будем мелочиться до каждого отдельного окошка.Мы отчетливо видим, что можем провести вертикальную плоскость, разрезающую здание по центру на левую и правую половины. Вторая вертикальная плоскость разрезает его точно так же пополам, но в перпендикулярном направлении.А что у нас «живет» на шпиле, где эти плоскости пересекаются? Какого порядка здесь ось? Совершенно верно, второго порядка. Значит, общая формула симметрии здания МГУ будет выглядеть следующим образом.Давайте сразу учиться писать формулы правильно. По правилам кристаллографии сначала всегда записываются элементы симметрии первого рода (оси), а затем — второго рода (плоскости и центры). В данном случае у нас есть одна ось второго порядка...Итак, сначала пишется элемент симметрии первого рода, а потом второго. У нас есть ось \(L_{2}\).Давайте посмотрим на плоскости. У нас есть плоскость первого сорта. Поскольку у меня на доске мел только белого цвета, я обозначу её как \(P^{\prime }\). И есть плоскость другого сорта — её я обозначу как \(P^{\prime \prime }\), чтобы не путать с первой, ведь они принципиально разные по геометрии здания. Перед нами полный набор элементов симметрии, описывающий главное архитектурное сооружение на Ленинских горах, построенное в 1953 году.Хорошо, давайте поиграем ещё. А это что у нас такое? Пентагон! Отлично. Что мы видим здесь? Слава богу, я умею считать до пяти, поэтому сразу вижу ось пятого порядка, которая проходит прямо через центр здания — это \(L_{5}\). Совершенно верно. А плоскости здесь есть? Да, их пять штук. Они разные или одинаковые?Они абсолютно одинаковые! Посмотрите: каждая из них выходит из угла пятиугольника и идет через центр к противоположной грани. То есть, в отличие от университета, где плоскости отличались, для Пентагона я пишу просто \(5P\) — мне не нужно ставить штрихи, ведь все эти плоскости одного сорта.А есть ли здесь горизонтальная плоскость? Сможет ли потолок совместиться с землей при отражении? Конечно, нет. Кстати, в университете её тоже не было, иначе мы с вами сейчас стояли бы на шпиле, а не у основания здания.Хорошо, давайте возьмем мой любимый предмет. Как он называется в геометрии? Прямоугольный параллелепипед, а по-простому — кирпич. Давайте опишем его симметрию. Кто готов взяться? Давай, выходи к доске! Начнем, как обычно, с элементов симметрии первого рода, то есть с поворотных осей. Бери ручку и показывай, как именно втыкается ось и какого она порядка. А я буду записывать за тобойПоказывай, где проходит ось... Так, отлично, первая ось второго порядка у нас есть. А есть еще одна такая же, но в другом направлении? Согласен, записываем вторую. И третья тоже есть! Таким образом, у нас получилось целых три оси второго порядка: одна вдоль, другая поперек, третья вертикально.Теперь давайте искать плоскости. Как мы можем разрезать наш кирпич? Сколько плоскостей у нас получается? Помните, что «порядков» у плоскостей не бывает — плоскость просто разрезает пространство пополам. Да, мы можем разрезать кирпич тремя разными способами, поэтому у нас есть три чудесные плоскости разного сорта. Запишем их пока со штрихами, чтобы не путать.А центр симметрии здесь есть? Как вы это определили? Знаете, как легко проверить наличие центра инверсии на многограннике? Смотрите: вы выбираете любую грань, и если строго напротив неё (антипараллельно) находится точно такая же грань, то центр есть. Если хотя бы в одном случае это правило нарушается, то центра инверсии в фигуре нет.Давайте проверим наш кирпич. Смотрим на большую грань — напротив неё выскочила точно такая же. Смотрим на боковую — напротив неё тоже аналогичная. Перебрали все грани, везде совпало. Значит, в данном случае центр симметрии однозначно есть! Смотрите, какой «плодовитый» у нас кирпич оказался, сколько в нем всего интересного, и все элементы разные.Для сравнения: а у здания университета или у Пентагона есть центр симметрии? Конечно, нет! Там, если мы посмотрим строго напротив главного входа, никакой аналогичной грани или входа не обнаружим.Давайте теперь мысленно собьем со здания МГУ все шпили, башенки и антенны, которые нам мешают, и рассмотрим только его центральную коническую часть. Мы выясним, что её симметрия точно такая же, как у рассмотренного выше вулкана. Это подводит нас к важному выводу: множество совершенно разных объектов в природе могут описываться одним и тем же набором элементов симметрии.Вот посмотрите на слайд — это идеализированное изображение кристалла ромбической серы. У серы много модификаций. Кто-нибудь из вас занимался в геологических кружках? Видели эти красивые серо-желтые кристаллы? Вот так идеально кристалл серы выглядел бы, если бы мы выращивали его в космосе, в условиях невесомости и отсутствия гравитации.Раз вы у нас уже стали специалистом по элементам второго порядка, могу я попросить вас найти элементы симметрии в этом кристалле? Посмотрите внимательно: здесь есть оси второго порядка, есть три плоскости... И центр симметрии здесь тоже будет! Мы с удивлением обнаружим, что...Мы с удивлением обнаружим, что весь этот комплекс элементов симметрии из обычного кирпича целиком перешел сюда, в кристалл серы! Хотя, с одной стороны, эти объекты совершенно не похожи друг на друга внешне, они описываются одним и тем же набором элементов. Это значит, что они принадлежат к одному и тому же классу симметрии.Кстати, в мире таких наборов не так уж и много. Существует всего 32 класса симметрии (то есть 32 уникальных набора элементов), которыми можно описать внешнюю форму абсолютно всех кристаллических многогранников на Земле. Почему это так — мы скоро подробно разберем.А пока давайте посмотрим на другие природные объекты. Вот цветок — здесь мне считать лень, но перед нами ось какого-то большого порядка, пускай тридцать шестого. Кто не верит — можете потом пересчитать лепестки на досуге. И плоскости симметрии здесь, конечно, тоже есть.А у этих снежинок ось какого порядка? Шестого, абсолютно верно. Да еще есть плоскости, причем двух разных сортов. Посмотрите внимательно на слайд: одни плоскости проходят строго через лучи снежинки, а другие — в промежутках между ними. То есть здесь у нас есть три плоскости одного сорта (\(3P^{\prime }\)) и три плоскости другого сорта (\(3P^{\prime \prime }\)). А если мы вспомним, что у снежинки есть реальная толщина, то в объеме у нас появится еще и горизонтальная плоскость, возникнут шесть осей второго порядка и центр инверсии — там много чего добавится.Обратите внимание: в природе вырастают миллиарды снежинок, и все они бесконечно разные по своей форме и узору. Но набор элементов симметрии у них всегда будет один и тот же! Каждая из них в качестве главного элемента обязательно будет содержать ось шестого порядка.А вот эти живые организмы (например, морские звезды) будто издеваются над законами неживой природы. Живые объекты стараются избегать оси шестого порядка и явно предпочитают ей ось пятого порядка. Посмотрите сами. К этому неравноправию цифр пять и шесть в живом и кристаллическом мире мы сегодня еще обязательно вернемся. А пока давайте немножко...
Итак, сначала пишется элемент симметрии первого рода, а потом второго. У нас есть ось \(L_{2}\).
Давайте посмотрим на плоскости. У нас есть плоскость первого сорта. Поскольку у меня на доске мел только белого цвета, я обозначу её как \(P^{\prime }\). И есть плоскость другого сорта — её я обозначу как \(P^{\prime \prime }\), чтобы не путать с первой, ведь они принципиально разные по геометрии здания. Перед нами полный набор элементов симметрии, описывающий главное архитектурное сооружение на Ленинских горах, построенное в 1953 году.
Хорошо, давайте поиграем ещё. А это что у нас такое? Пентагон! Отлично. Что мы видим здесь? Слава богу, я умею считать до пяти, поэтому сразу вижу ось пятого порядка, которая проходит прямо через центр здания — это \(L_{5}\). Совершенно верно. А плоскости здесь есть? Да, их пять штук. Они разные или одинаковые?
Они абсолютно одинаковые! Посмотрите: каждая из них выходит из угла пятиугольника и идет через центр к противоположной грани. То есть, в отличие от университета, где плоскости отличались, для Пентагона я пишу просто \(5P\) — мне не нужно ставить штрихи, ведь все эти плоскости одного сорта.
А есть ли здесь горизонтальная плоскость? Сможет ли потолок совместиться с землей при отражении? Конечно, нет. Кстати, в университете её тоже не было, иначе мы с вами сейчас стояли бы на шпиле, а не у основания здания.
Хорошо, давайте возьмем мой любимый предмет. Как он называется в геометрии? Прямоугольный параллелепипед, а по-простому — кирпич. Давайте опишем его симметрию. Кто готов взяться? Давай, выходи к доске! Начнем, как обычно, с элементов симметрии первого рода, то есть с поворотных осей. Бери ручку и показывай, как именно втыкается ось и какого она порядка. А я буду записывать за тобой
Показывай, где проходит ось... Так, отлично, первая ось второго порядка у нас есть. А есть еще одна такая же, но в другом направлении? Согласен, записываем вторую. И третья тоже есть! Таким образом, у нас получилось целых три оси второго порядка: одна вдоль, другая поперек, третья вертикально.
Теперь давайте искать плоскости. Как мы можем разрезать наш кирпич? Сколько плоскостей у нас получается? Помните, что «порядков» у плоскостей не бывает — плоскость просто разрезает пространство пополам. Да, мы можем разрезать кирпич тремя разными способами, поэтому у нас есть три чудесные плоскости разного сорта. Запишем их пока со штрихами, чтобы не путать.
А центр симметрии здесь есть? Как вы это определили? Знаете, как легко проверить наличие центра инверсии на многограннике? Смотрите: вы выбираете любую грань, и если строго напротив неё (антипараллельно) находится точно такая же грань, то центр есть. Если хотя бы в одном случае это правило нарушается, то центра инверсии в фигуре нет.
Давайте проверим наш кирпич. Смотрим на большую грань — напротив неё выскочила точно такая же. Смотрим на боковую — напротив неё тоже аналогичная. Перебрали все грани, везде совпало. Значит, в данном случае центр симметрии однозначно есть! Смотрите, какой «плодовитый» у нас кирпич оказался, сколько в нем всего интересного, и все элементы разные.
Для сравнения: а у здания университета или у Пентагона есть центр симметрии? Конечно, нет! Там, если мы посмотрим строго напротив главного входа, никакой аналогичной грани или входа не обнаружим.
Давайте теперь мысленно собьем со здания МГУ все шпили, башенки и антенны, которые нам мешают, и рассмотрим только его центральную коническую часть. Мы выясним, что её симметрия точно такая же, как у рассмотренного выше вулкана. Это подводит нас к важному выводу: множество совершенно разных объектов в природе могут описываться одним и тем же набором элементов симметрии.
Вот посмотрите на слайд — это идеализированное изображение кристалла ромбической серы. У серы много модификаций. Кто-нибудь из вас занимался в геологических кружках? Видели эти красивые серо-желтые кристаллы? Вот так идеально кристалл серы выглядел бы, если бы мы выращивали его в космосе, в условиях невесомости и отсутствия гравитации.
Раз вы у нас уже стали специалистом по элементам второго порядка, могу я попросить вас найти элементы симметрии в этом кристалле? Посмотрите внимательно: здесь есть оси второго порядка, есть три плоскости... И центр симметрии здесь тоже будет! Мы с удивлением обнаружим, что...
Мы с удивлением обнаружим, что весь этот комплекс элементов симметрии из обычного кирпича целиком перешел сюда, в кристалл серы! Хотя, с одной стороны, эти объекты совершенно не похожи друг на друга внешне, они описываются одним и тем же набором элементов. Это значит, что они принадлежат к одному и тому же классу симметрии.
Кстати, в мире таких наборов не так уж и много. Существует всего 32 класса симметрии (то есть 32 уникальных набора элементов), которыми можно описать внешнюю форму абсолютно всех кристаллических многогранников на Земле. Почему это так — мы скоро подробно разберем.
А пока давайте посмотрим на другие природные объекты. Вот цветок — здесь мне считать лень, но перед нами ось какого-то большого порядка, пускай тридцать шестого. Кто не верит — можете потом пересчитать лепестки на досуге. И плоскости симметрии здесь, конечно, тоже есть.
А у этих снежинок ось какого порядка? Шестого, абсолютно верно. Да еще есть плоскости, причем двух разных сортов. Посмотрите внимательно на слайд: одни плоскости проходят строго через лучи снежинки, а другие — в промежутках между ними. То есть здесь у нас есть три плоскости одного сорта (\(3P^{\prime }\)) и три плоскости другого сорта (\(3P^{\prime \prime }\)). А если мы вспомним, что у снежинки есть реальная толщина, то в объеме у нас появится еще и горизонтальная плоскость, возникнут шесть осей второго порядка и центр инверсии — там много чего добавится.
Обратите внимание: в природе вырастают миллиарды снежинок, и все они бесконечно разные по своей форме и узору. Но набор элементов симметрии у них всегда будет один и тот же! Каждая из них в качестве главного элемента обязательно будет содержать ось шестого порядка.
А вот эти живые организмы (например, морские звезды) будто издеваются над законами неживой природы. Живые объекты стараются избегать оси шестого порядка и явно предпочитают ей ось пятого порядка. Посмотрите сами. К этому неравноправию цифр пять и шесть в живом и кристаллическом мире мы сегодня еще обязательно вернемся. А пока давайте немножко...
10. История развития кристаллографииДавайте поговорим о том, как развивалась наша наука — это очень пригодится нам для дальнейшего разговора. Для начала разберемся, откуда вообще взялось слово «кристалл».Изначально в древнегреческом языке слово «кристаллос» означало застывший лед. Древние исследователи, описывая кристаллы горного хрусталя, искренне считали, что это лед, который настолько сильно перемерз в природных пещерах-морозилках, что его теперь невозможно растопить никакими солнечными лучами. Гораздо позже выяснилось, что по химическому составу это вещество — вовсе не H₂O, а SiO₂ (диоксид кремния). Но красивое слово уже прочно вошло в обиход. Затем ученые обнаружили, что кристаллы бывают не только белыми и прозрачными, но и красными, синими, зелеными — однако менять название уже никто не стал.В принципе, изучая и описывая историю развития кристаллографии, мы можем четко выделить по меньшей мере три больших периода. Первый период — это сбор фактов. В это время люди просто находили красивые многогранники, коллекционировали их и...
Итак, первый период — это сбор фактов. В то время люди просто находили красивые многогранники, коллекционировали их и искренне радовались самому этому обстоятельству. Этот этап закончился в начале XIX века, когда появились первые исследователи, попытавшиеся объяснить, почему кристаллы устроены именно так.
С этого момента начался второй период — теоретический. Он охватывает весь XIX век и завершается строго в 1912 году. Обратите внимание: если первая граница у нас довольно расплывчатая, то здесь рубеж совершенно четкий. Как вы считаете, почему?
Дело в том, что в этот момент произошло одновременно два важнейших научных события. Эрнест Резерфорд обосновал планетарную модель атома, и в том же году Макс фон Лауэ открыл явление дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Благодаря этому кристаллография наконец-то получила мощнейший экспериментальный метод для изучения внутренней структуры вещества.
Так начался третий, экспериментальный период. Мы получили возможность расшифровывать кристаллические структуры и на практике доказывать все те теоретические законы, которые наши предшественники сформулировали в XIX веке.
В принципе, сегодня, в XXI веке, мы уже можем смело выделять и четвертый период — предсказательный. Дело в том, что сейчас математическое моделирование достигло таких высот, что цифровой эксперимент на компьютере способен заменить реальную физическую работу в лаборатории. Современные расчетные алгоритмы обладают потрясающей точностью. Мы можем заранее рассчитать и детально воспроизвести, какой должна быть кристаллическая структура вещества в тех или иных условиях, ведь мы прекрасно понимаем, что кристалл — это...
11. Выдающиеся деятели в кристаллографии и кристаллохимииС глубокой древности кристаллы привлекали людей своим изяществом и неповторимостью форм. Именно поэтому мыслители и философы прошлых эпох так или иначе обращались к этой теме. Если мы возьмем практически любого известного ученого древности, то обнаружим, что он обязательно оставил свой след в нашей науке. На слайде я перечислил лишь малую часть тех, кого мы можем по праву называть первыми кристаллографами.Перефразируя слова Гёте, можно сказать, что кристаллография прочно и надолго захватывает выдающиеся умы. Кстати, о выдающихся людях: кого из них вы узнаете по портретам на слайде? Назовите хотя бы троих.Ну, вот этого человека вы обязаны знать просто железно. Конечно, это Владимир Иванович Вернадский! Я специально выбрал его молодой портрет, а не тот снимок в преклонном возрасте, к которому все привыкли.А вот этого исследователя, пожалуй, тоже должны знать. Кто это? Это Пьер Кюри — слышали ведь такую фамилию?Этого благообразного дядечку вы наверняка встречали на страницах учебников — Александр Евгеньевич Ферсман, наш известнейший геохимик.А вот этого красивого молодого человека узнаете? Ну как же так, друзья? Вот что значит инерция зрительных образов! Это ведь Дмитрий Иванович Менделеев. Он не всегда был 80-летним старцем с окладистой бородой, каким его вечно рисуют в правом верхнем углу периодической таблицы. В молодости он был вполне симпатичным и импозантным мужчиной.Разумеется, я не могу перечислить сейчас абсолютно всех великих ученых — этот список огромен. Но тем из вас, кому искренне интересна история науки, я очень рекомендую заглянуть к нам на четвертый этаж. Там у нас оформлен большой стенд, посвященный великим кристаллографам, а в 346-м кабинете собрано много редких материалов. Приходите, читайте, изучайте — найдете для себя массу удивительного!Отлично, идем дальше. Что же такое кристалл на самом деле? Внутри он устроен очень хитро...
12. Понятие кристаллаДавайте разберемся, как мы понимаем кристаллическое состояние в отличие от других агрегатных состояний — например, аморфного или стеклообразного (хотя в физике и считается, что стекло — это просто жидкость с очень высокой вязкостью). Исторически мы всегда сравниваем их между собой. Отдельно стоит упомянуть квазикристаллическое состояние вещества, которое было открыто относительно недавно и пока остается для нас достаточно экзотическим.Кристаллическое вещество обладает рядом важнейших уникальных свойств. Во-первых, внутреннее расположение частиц и атомов здесь строго упорядочено. Что это значит? Если мы посмотрим на эту плоскую картинку и представим, что вы — черный шарик, символизирующий атом определенного сорта, то вокруг вас обязательно обнаружатся три белых шарика на строго равном расстоянии. Такое регулярное окружение в ближайшем радиусе называется ближним порядком.А что же такое дальний порядок? Это значит, что если мы начнем транслировать (повторять) эту атомную группировку в пространстве, то она будет без изменений воспроизводиться через равные промежутки хоть до самой Туманности Андромеды.Кстати, о размерности кристаллов. Их реальные размеры бывают самыми разными — от микроскопических крупинок до гигантских монолитов в несколько метров. Давайте проведем небольшой мысленный эксперимент. Представим себе, что мы — не люди, а атомы, полноправные обитатели кристаллической решетки.Если мы с вами сейчас живем в метровом диапазоне, то атомы существуют в ангстремном масштабе. Напомните, ангстрем — это сколько? Совершенно верно, \(10^{-10}\) метра. То есть, чтобы превратиться в атомы, нам нужно мысленно уменьшиться на целых десять порядков! Отлично.Какого же размера сами атомы? Они как раз порядка ангстрема. Могу я попросить выйти сюда кого-нибудь из девушек? Вот, например, у вас рост примерно метр шестьдесят четыре. Отлично, представьте, что перед нами структура кварца (\(SiO_{2}\)). Если бы мы уменьшились до атомных масштабов, то ваш рост был бы сопоставим с межатомным расстоянием между кремнием и кислородом в кристаллической структуре — то есть равен сумме половины радиуса кремния и половины радиуса кислорода. Вы отлично подходите по размеру, спасибо, присаживайтесь!Получается, что...Итак, уменьшение на десять порядков позволяет нам напрямую сравнивать людей и атомы. А теперь давайте посмотрим на ситуацию изнутри. Представьте, что вы — атом, который живет в самом центре вот этого маленького кристаллика размером всего сантиметр на сантиметр.Вы находитесь в глубине государства под названием Кристалл. Сколько вам, атому, нужно пройти «пешком», чтобы добраться до его поверхности? Я вижу по глазам, что вам тяжело так быстро считать в уме и оперировать такими гигантскими порядками. Это абсолютно нормально, поэтому я вам подскажу. Полсантиметра пути для человека — для атома превращаются в огромные 50 тысяч километров! При этом ваш ближайший сосед живет от вас в «трех метрах».Понимаете масштаб? Для атома, находящегося внутри кристаллической решетки, любой реальный кристалл является практически бесконечной конструкцией. Это вам не от Москвы до Владивостока неделю на поезде ехать — это в пять раз дальше, да еще и пешком!Именно поэтому мы говорим, что кристалл подчиняется строгому пространственному закону. Кристаллическая решетка — это трехмерный закон повторяемости одинаковых частиц в объеме. Изучением этой внутренней микросимметрии мы с вами подробно и займемся в самом конце этого семестра.Изучением этой внутренней микросимметрии мы с вами подробно и займемся в конце семестра. Мы обязательно пройдем путь от макромировых свойств к микроструктурам, но до этого дойдем чуть попозже.Как вы уже поняли из нашего разговора, кристаллы бывают по-настоящему огромными — вплоть до 15 метров в длину! Представляете, сколько атому придется бежать до границы такого исполина, если он вдруг захочет попутешествовать? Точно не добежит. При этом все кристаллы разные: у них разная огранка, разная расцветка, поэтому они с древнейших времен так сильно привлекали людей.Так что же такое кристалл согласно современным научным представлениям? Сейчас я озвучу вам это определение — звучит оно как страшная заумная гадость, но когда мы разберем каждое слово, всё сразу станет понятно. Итак, кристалл — это твердое, однородное, анизотропное вещество, способное при определенных условиях самоограняться.Давайте разберем эту формулу по частям:- Твердое. Это свойство я оставлю без долгих объяснений, тут примерно понятно. Хотя в науке существуют еще и жидкие кристаллы, так что классическое определение не всегда со стопроцентной точностью соответствует тому, что вы можете встретить в современной физике.
- Однородное. В данном контексте однородность как раз и означает, что вещество обладает внутренней периодичностью. Через равные промежутки пространства одни и те же атомы, группы атомов или молекулы будут закономерным образом повторяться.
- Анизотропное. Что такое анизотропия? Это значит, что свои определенные физические свойства кристалл проявляет в разных направлениях совершенно по-разному. Если мы возьмем реальный кристалл, то вовсе не факт, что расстояния между атомами вдоль него, поперек и по диагонали будут равны друг другу. А раз структура в объеме неодинакова, то и свойства в разных направлениях будут...
А раз структура в объеме неодинакова, то и свои физические свойства в разных направлениях кристалл будет проявлять совершенно по-разному.Иногда это критически важно. На слайде я показал первую попавшуюся картинку — это график изменения скоростей акустических колебаний внутри монокристалла. Посмотрите на эту зеленую линию. Получившаяся фигура (индикатриса) наглядно демонстрирует, что в зависимости от направления скорость звука в кристалле отличается почти в полтора раза! Смотря под каким углом мы запустим звуковую волну — вот так или вот так. Это и есть анизотропия.Теперь давайте разберем последнюю часть нашего определения — способность самоограняться. Вот перед нами красивый многогранник. Как вы считаете, почему на нем проявились такие ровные грани? Это ведь не значит, что мы поймали в пещере какого-то гнома, который сидел там и точил этот камень напильником, чтобы сделать нам красиво. Нет, кристалл вырос абсолютно сам!А почему он вырос именно таким? Потому что это выгодно. Запомните самый важный закон природы, только никому об этом не говорите, ладно? Природа — это исключительно ленивая субстанция. Если можно не делать лишней работы или не тратить лишнюю энергию, она никогда этого делать не станет. Раз кристалл вырос в форме многогранника, значит, именно такое состояние сопряжено с минимальными энергетическими затратами. Ему просто энергетически выгодно иметь четкую естественную огранку.Почему конкретно это выгодно — мы детально выясним чуть позже. Сам этот процесс в природе идет очень долго, хотя иногда может протекать и быстро. В лаборатории мы научились имитировать естественные условия, чтобы ускорить рост. Настоящий же природный процесс — длительный, он может занимать тысячи и даже миллионы лет. Понятно, что в рамках лабораторных экспериментов никто не собирается ждать миллионы лет, поэтому ученым требуются определенные знания и технологии, чтобы заставить кристалл расти быстро. Один персонаж из присутствующих здесь точно знает, как это происходит — я имею в виду старосту вашей группы, у неё уже есть определенные навыки в выращивании кристаллов.Резюмируя: любой осколок или обломок кристалла, попав в соответствующую благоприятную среду (например, в насыщенный раствор), со временем достроит свои грани и примет естественную, наиболее энергетически выгодную форму. Вот этот кристалл корунда на слайде со временем вырастет в виде правильной гексагональной призмы. И повторюсь: не потому, что его кто-то обработал напильником, а потому что так ему проще и выгоднее всего существовать.Отлично. Если теперь мы рассмотрим идеальный кристалл просто как геометрическое тело, то, естественно, в нем...
Изучением этой внутренней микросимметрии мы с вами подробно и займемся в конце семестра. Мы обязательно пройдем путь от макромировых свойств к микроструктурам, но до этого дойдем чуть попозже.
Как вы уже поняли из нашего разговора, кристаллы бывают по-настоящему огромными — вплоть до 15 метров в длину! Представляете, сколько атому придется бежать до границы такого исполина, если он вдруг захочет попутешествовать? Точно не добежит. При этом все кристаллы разные: у них разная огранка, разная расцветка, поэтому они с древнейших времен так сильно привлекали людей.
Так что же такое кристалл согласно современным научным представлениям? Сейчас я озвучу вам это определение — звучит оно как страшная заумная гадость, но когда мы разберем каждое слово, всё сразу станет понятно. Итак, кристалл — это твердое, однородное, анизотропное вещество, способное при определенных условиях самоограняться.
Давайте разберем эту формулу по частям:
- Твердое. Это свойство я оставлю без долгих объяснений, тут примерно понятно. Хотя в науке существуют еще и жидкие кристаллы, так что классическое определение не всегда со стопроцентной точностью соответствует тому, что вы можете встретить в современной физике.
- Однородное. В данном контексте однородность как раз и означает, что вещество обладает внутренней периодичностью. Через равные промежутки пространства одни и те же атомы, группы атомов или молекулы будут закономерным образом повторяться.
- Анизотропное. Что такое анизотропия? Это значит, что свои определенные физические свойства кристалл проявляет в разных направлениях совершенно по-разному. Если мы возьмем реальный кристалл, то вовсе не факт, что расстояния между атомами вдоль него, поперек и по диагонали будут равны друг другу. А раз структура в объеме неодинакова, то и свойства в разных направлениях будут...
А раз структура в объеме неодинакова, то и свои физические свойства в разных направлениях кристалл будет проявлять совершенно по-разному.
Иногда это критически важно. На слайде я показал первую попавшуюся картинку — это график изменения скоростей акустических колебаний внутри монокристалла. Посмотрите на эту зеленую линию. Получившаяся фигура (индикатриса) наглядно демонстрирует, что в зависимости от направления скорость звука в кристалле отличается почти в полтора раза! Смотря под каким углом мы запустим звуковую волну — вот так или вот так. Это и есть анизотропия.
Теперь давайте разберем последнюю часть нашего определения — способность самоограняться. Вот перед нами красивый многогранник. Как вы считаете, почему на нем проявились такие ровные грани? Это ведь не значит, что мы поймали в пещере какого-то гнома, который сидел там и точил этот камень напильником, чтобы сделать нам красиво. Нет, кристалл вырос абсолютно сам!
А почему он вырос именно таким? Потому что это выгодно. Запомните самый важный закон природы, только никому об этом не говорите, ладно? Природа — это исключительно ленивая субстанция. Если можно не делать лишней работы или не тратить лишнюю энергию, она никогда этого делать не станет. Раз кристалл вырос в форме многогранника, значит, именно такое состояние сопряжено с минимальными энергетическими затратами. Ему просто энергетически выгодно иметь четкую естественную огранку.
Почему конкретно это выгодно — мы детально выясним чуть позже. Сам этот процесс в природе идет очень долго, хотя иногда может протекать и быстро. В лаборатории мы научились имитировать естественные условия, чтобы ускорить рост. Настоящий же природный процесс — длительный, он может занимать тысячи и даже миллионы лет. Понятно, что в рамках лабораторных экспериментов никто не собирается ждать миллионы лет, поэтому ученым требуются определенные знания и технологии, чтобы заставить кристалл расти быстро. Один персонаж из присутствующих здесь точно знает, как это происходит — я имею в виду старосту вашей группы, у неё уже есть определенные навыки в выращивании кристаллов.
Резюмируя: любой осколок или обломок кристалла, попав в соответствующую благоприятную среду (например, в насыщенный раствор), со временем достроит свои грани и примет естественную, наиболее энергетически выгодную форму. Вот этот кристалл корунда на слайде со временем вырастет в виде правильной гексагональной призмы. И повторюсь: не потому, что его кто-то обработал напильником, а потому что так ему проще и выгоднее всего существовать.
Отлично. Если теперь мы рассмотрим идеальный кристалл просто как геометрическое тело, то, естественно, в нем...
13. Кристалл как геометрическая фигура. Теорема ЭйлераВ идеальных условиях выросший кристалл будет представлять собой геометрический многогранник, обладающий своими строгими характеристиками. У него будет определенное количество вершин, ребер и граней. Интересно, что их число жестко связано между собой фундаментальной теоремой топологии — теоремой Эйлера. Я надеюсь, вы её помните?Вот эта замечательная формула, которая справедлива абсолютно для всех выпуклых многогранников:\(В+Г=Р+2\)Иными словами, количество вершин плюс количество граней в любом выпуклом многограннике всегда равняется количеству его ребер плюс две единицы.Это очень легко проверить на примере пяти уникальных объектов, которые называются правильными многогранниками, или Платоновыми телами. Существует еще одна «страшная тайна мироздания»: Платоновых тел в нашей Вселенной может быть всего пять, и ни одним больше! Что такое правильный многогранник? Это тело, состоящее из абсолютно одинаковых правильных многоугольников, у которого все вершины топологически идентичны — то есть в каждой вершине сходится одинаковое количество граней. Очень скоро мы с вами строго докажем, почему их именно пять, и вы быстро всё поймете.Древние философы этому факту очень радовались, искренне удивлялись и даже приписали каждому из этих пяти многогранников свою природную стихию: землю, огонь, воздух, воду и вселенную (эфир). Знаете, как они называются научным языком?Вот этот объект, например, в детском саду называют кубом. Но мы-то с вами находимся в университете, поэтому называем его гексаэдром. Вообще, в кристаллографии исторически принято использовать греческие названия...В кристаллографии используются греческие названия: правильный шестигранник — это гексаэдр, а четыре фигуры — тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Можно легко проверить теорему Эйлера на примере тетраэдра с 4 гранями и 6 ребрами, а также гексаэдра с 8 вершинами и 12 ребрами, где формулы работают без ошибок. При этом первые три многогранника часто встречаются в природе как кристаллы, а последние два — нет. Запрет на существование додекаэдра и икосаэдра в кристаллах связан с тем, что они обладают осями пятого порядка, о которых забыли упомянуть ранее. Наконец, Иоганн Кеплер, известный астроном, также сделал значительный вклад в развитие кристаллографии в древности.Говоря о великих мыслителях прошлого, нельзя не упомянуть Иоганна Кеплера. Конечно, мы все знаем его в первую очередь как выдающегося астронома, который наблюдал за звездами и планетами, а вовсе не как профессионального кристаллографа.В 1596 году Кеплер опубликовал свой знаменитый трактат «Тайна мироздания», где заявил, что разгадал устройство Вселенной. Как он это себе представлял? С точки зрения Кеплера, устройство космоса базировалось на строгой геометрии: он последовательно вложил все пять правильных многогранников друг в друга, используя вписанные и описанные сферы. Проявив незаурядное мастерство в геометрии, он получил соотношения радиусов этих сфер. Удивительно, но эти пропорции с высокой точностью совпали с известными астрономии того времени радиусами планетных орбит (хотя орбиты на самом деле эллиптические, Кеплер, видимо, взял их средние значения). В итоге у него получилась стройная модель для шести известных в тот момент планет Солнечной системы.Давайте, кстати, проверим наши знания астрономии и перечислим эти первые шесть планет по порядку возрастания расстояния от Солнца. Поехали: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер... Отлично, всё правильно, и последняя — Сатурн. Что касается Плутона, то его сейчас то выгоняют из списка планет, то реабилитируют обратно, но в любом случае тогда он не был известен. Уран и Нептун тоже еще не были открыты. Таким образом, Кеплер искренне считал, что обнаружил скрытую математическую гармонию Вселенной, связывающую геометрию Платоновых тел и орбиты планет, и верил в эту модель до конца своих дней.Однако в список великих кристаллографов мы заносим Кеплера совсем не за эту красивую космическую гипотезу. Мы благодарны ему за то, что именно он заложил основы теории плотнейших шаровых упаковок и впервые научно объяснил, почему все снежинки имеют строгую шестиугольную форму.Кстати, о массовой культуре: кто-нибудь из вас смотрел подростковую новогоднюю комедию «Мой парень — ангел»? Там есть очень смешная сцена, имитирующая экзамен по кристаллографии. Снимали этот фильм, к слову, не у нас на факультете, а в Бауманке, потому что мы кинематографистов к себе просто не пустили. У режиссера и сценаристов оказались очень забавные и далекие от реальности представления о том, как проходит наш экзамен. Поверьте, у нас с вами всё будет совершенно по-другому!Так вот, возвращаясь к теоретическому периоду накопления знаний в XIX веке. В этот момент ученым открылось настоящее волшебство...
В кристаллографии используются греческие названия: правильный шестигранник — это гексаэдр, а четыре фигуры — тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Можно легко проверить теорему Эйлера на примере тетраэдра с 4 гранями и 6 ребрами, а также гексаэдра с 8 вершинами и 12 ребрами, где формулы работают без ошибок. При этом первые три многогранника часто встречаются в природе как кристаллы, а последние два — нет. Запрет на существование додекаэдра и икосаэдра в кристаллах связан с тем, что они обладают осями пятого порядка, о которых забыли упомянуть ранее. Наконец, Иоганн Кеплер, известный астроном, также сделал значительный вклад в развитие кристаллографии в древности.
Говоря о великих мыслителях прошлого, нельзя не упомянуть Иоганна Кеплера. Конечно, мы все знаем его в первую очередь как выдающегося астронома, который наблюдал за звездами и планетами, а вовсе не как профессионального кристаллографа.
В 1596 году Кеплер опубликовал свой знаменитый трактат «Тайна мироздания», где заявил, что разгадал устройство Вселенной. Как он это себе представлял? С точки зрения Кеплера, устройство космоса базировалось на строгой геометрии: он последовательно вложил все пять правильных многогранников друг в друга, используя вписанные и описанные сферы. Проявив незаурядное мастерство в геометрии, он получил соотношения радиусов этих сфер. Удивительно, но эти пропорции с высокой точностью совпали с известными астрономии того времени радиусами планетных орбит (хотя орбиты на самом деле эллиптические, Кеплер, видимо, взял их средние значения). В итоге у него получилась стройная модель для шести известных в тот момент планет Солнечной системы.
Давайте, кстати, проверим наши знания астрономии и перечислим эти первые шесть планет по порядку возрастания расстояния от Солнца. Поехали: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер... Отлично, всё правильно, и последняя — Сатурн. Что касается Плутона, то его сейчас то выгоняют из списка планет, то реабилитируют обратно, но в любом случае тогда он не был известен. Уран и Нептун тоже еще не были открыты. Таким образом, Кеплер искренне считал, что обнаружил скрытую математическую гармонию Вселенной, связывающую геометрию Платоновых тел и орбиты планет, и верил в эту модель до конца своих дней.
Однако в список великих кристаллографов мы заносим Кеплера совсем не за эту красивую космическую гипотезу. Мы благодарны ему за то, что именно он заложил основы теории плотнейших шаровых упаковок и впервые научно объяснил, почему все снежинки имеют строгую шестиугольную форму.
Кстати, о массовой культуре: кто-нибудь из вас смотрел подростковую новогоднюю комедию «Мой парень — ангел»? Там есть очень смешная сцена, имитирующая экзамен по кристаллографии. Снимали этот фильм, к слову, не у нас на факультете, а в Бауманке, потому что мы кинематографистов к себе просто не пустили. У режиссера и сценаристов оказались очень забавные и далекие от реальности представления о том, как проходит наш экзамен. Поверьте, у нас с вами всё будет совершенно по-другому!
Так вот, возвращаясь к теоретическому периоду накопления знаний в XIX веке. В этот момент ученым открылось настоящее волшебство...
14. Закон постоянства углов
В теоретический период ученым открылось настоящее волшебство кристаллического мира — его закон номер один. Звучит он следующим образом: в силу различных природных условий кристаллы одного и того же вещества могут вырастать совершенно разной формы. Но если мы возьмем кристаллы одного минерала из разных месторождений и с разных континентов, то углы между их соответствующими гранями всегда будут строго постоянными.Вот посмотрите на слайд. Перед нами идеальная форма — гексагональная призмочка. Углы между её боковыми гранями \(A\) и \(B\) нам не так интересны, они априори равны 120 градусам. А вот угол наклона головки кристалла (грани \(C\)) относительно боковой грани \(B\) чрезвычайно важен. Именно он позволит вам с точностью до минут отличить, например, кварц от турмалина. Все эти углы индивидуальны для каждого вещества, потому что они напрямую определяются его внутренним строением. Какой бы причудливой, вытянутой или искаженной ни была внешняя форма вашего кристалла, если вы измерите углы между его соответственными гранями, то сможете уверенно сказать: «Ага, это кварц!» или «А это топаз!».Впоследствии этот феномен, конечно же, был строго объяснен особенностями кристаллической структуры. Но в XVII веке открытие этого правила вызывало у ученых настоящее восхищение. Впервые этот закон открыл и сформулировал датский анатом и естествоиспытатель Николас Стено (или Николай Стенон).И здесь мы с вами переходим к тонкому моменту, связанному с различными транскрипциями и переводами иностранных фамилий в нашей литературе. Как его только не обзывали в научных и околонаучных кругах...В нашей литературе его называют по-разному: и Нильс Стенсен, и Николас Стено, и Николай Стенон. Имейте в виду, что всё это один и тот же человек. У него, естественно, не было никакой приборной базы. Он просто прикладывал кристалл к листку бумаги, аккуратно обводил его контур, а затем измерял получившиеся углы доступными в то время способами — какими именно, врать не буду, точно не знаю.В итоге он сформулировал закон: если кристаллы одного и того же вещества имеют разную форму, углы между их соответствующими гранями всё равно остаются неизменными. Послушайте, если мы возьмем идеальный кристалл, то этот угол будет строго характеристическим. При росте кристалла одна грань может почти выродиться, а другая — сильно увеличиться, но сам угол между ними — с поправкой на точность измерений — останется прежним.Николас Стено жил в середине XVII века. Интернета тогда не было, научных журналов в современном понимании — тоже. Обычно в те времена происходило так: кто-то что-то умное сказал, и все вокруг тут же об этом забыли, если автор не был императором. Труды Стено публиковались трижды при его жизни, но затем почти на сто лет о них напрочь забыли, и никто об этом законе не знал.Считается, что позже этот закон подтвердил Михаил Васильевич Ломоносов. Наш великий ученый действительно оставил след абсолютно во всех научных дисциплинах, и мы искренне преклоняемся перед его гением. Однако, на мой взгляд, его роль конкретно в кристаллографии здесь несколько преувеличена советскими историками науки. Поэтому мы деликатно промолчим, но обязательно зафиксируем имя другого исследователя.Жан-Батист Ромэ-де-Лиль — вот кто окончательно переоткрыл и сформулировал закон постоянства гранных углов в своей четкой трактовке. Он показал, что грани кристалла могут сильно изменяться по своей форме и относительным размерам, но их взаимные наклоны постоянно и неизменно сохраняются для каждого рода кристаллов. Более того, именно Ромэ-де-Лиль придумал первый прибор, которым можно было эти углы точно измерять.Выглядел он вот так, как на слайде, и называется прикладным гониометром (от греческого «гонио» — угол, и «метрео» — измеряю). Всё расшифровывается очень просто: обычный транспортир с небольшими дополнительными механическими приспособлениями. Естественно, сам Ромэ-де-Лиль руками этот прибор не выпиливал — он был великим ученым, а изготавливали технику его помощники и мастера, ведь не барское это дело.Надо сказать, Ромэ-де-Лиль был удивительной личностью. Он считал, что главное предназначение ученого — это просто наблюдать за незыблемыми законами природы, фиксировать факты и восхищаться их красотой. А вот объяснять причины, с его точки зрения, было совершенно не обязательно: не нашего ума дело разгадывать, почему природа сотворила всё именно так. То есть он был классическим ученым-созерцателем, пассивным фиксатором фактов.А вот его современник — тоже великий и очень известный французский ученый Рене Жюст Гаюи...
В нашей литературе его называют по-разному: и Нильс Стенсен, и Николас Стено, и Николай Стенон. Имейте в виду, что всё это один и тот же человек. У него, естественно, не было никакой приборной базы. Он просто прикладывал кристалл к листку бумаги, аккуратно обводил его контур, а затем измерял получившиеся углы доступными в то время способами — какими именно, врать не буду, точно не знаю.
В итоге он сформулировал закон: если кристаллы одного и того же вещества имеют разную форму, углы между их соответствующими гранями всё равно остаются неизменными. Послушайте, если мы возьмем идеальный кристалл, то этот угол будет строго характеристическим. При росте кристалла одна грань может почти выродиться, а другая — сильно увеличиться, но сам угол между ними — с поправкой на точность измерений — останется прежним.
Николас Стено жил в середине XVII века. Интернета тогда не было, научных журналов в современном понимании — тоже. Обычно в те времена происходило так: кто-то что-то умное сказал, и все вокруг тут же об этом забыли, если автор не был императором. Труды Стено публиковались трижды при его жизни, но затем почти на сто лет о них напрочь забыли, и никто об этом законе не знал.
Считается, что позже этот закон подтвердил Михаил Васильевич Ломоносов. Наш великий ученый действительно оставил след абсолютно во всех научных дисциплинах, и мы искренне преклоняемся перед его гением. Однако, на мой взгляд, его роль конкретно в кристаллографии здесь несколько преувеличена советскими историками науки. Поэтому мы деликатно промолчим, но обязательно зафиксируем имя другого исследователя.
Жан-Батист Ромэ-де-Лиль — вот кто окончательно переоткрыл и сформулировал закон постоянства гранных углов в своей четкой трактовке. Он показал, что грани кристалла могут сильно изменяться по своей форме и относительным размерам, но их взаимные наклоны постоянно и неизменно сохраняются для каждого рода кристаллов. Более того, именно Ромэ-де-Лиль придумал первый прибор, которым можно было эти углы точно измерять.
Выглядел он вот так, как на слайде, и называется прикладным гониометром (от греческого «гонио» — угол, и «метрео» — измеряю). Всё расшифровывается очень просто: обычный транспортир с небольшими дополнительными механическими приспособлениями. Естественно, сам Ромэ-де-Лиль руками этот прибор не выпиливал — он был великим ученым, а изготавливали технику его помощники и мастера, ведь не барское это дело.
Надо сказать, Ромэ-де-Лиль был удивительной личностью. Он считал, что главное предназначение ученого — это просто наблюдать за незыблемыми законами природы, фиксировать факты и восхищаться их красотой. А вот объяснять причины, с его точки зрения, было совершенно не обязательно: не нашего ума дело разгадывать, почему природа сотворила всё именно так. То есть он был классическим ученым-созерцателем, пассивным фиксатором фактов.
А вот его современник — тоже великий и очень известный французский ученый Рене Жюст Гаюи...
15. Основной закон симметрии кристалловРене Жюст Гаюи был современником Ромэ-де-Лиля и жил в то же самое время. Но именно с него, по сути, и начался настоящий теоретический период кристаллографии, поскольку Гаюи стал первым пытаться объяснить, почему кристаллы устроены так, а не иначе.Он открыл еще один важнейший закон кристаллического мира, который вам точно понравится своей лаконичностью. Звучит он так: в кристаллах принципиально не может быть осей пятого порядка, а также любых осей порядка выше шестого.Это и есть основной закон симметрии кристаллического вещества. Сначала его, естественно, открыли эмпирически, просто изучая природные образцы, а значительно позже строго подтвердили математически через решетчатое строение вещества. Представляете? Порядок поворотных осей в кристаллических многогранниках ограничен смешным набором простых чисел: 1, 2, 3, 4 и 6. Пятерка из этого ряда напрочь выпала, а всё, что больше шестерки, находится под строжайшим запретом.Почему это так на макроуровне, мы с вами выясним достаточно скоро. Самое простое геометрическое следствие из этого закона заключается в том, что двумерную плоскость невозможно выложить без зазоров и перекрытий правильными \(N\)-угольниками, если \(N\) равно пяти или больше шести.Если вы попытаетесь плотно уложить друг с другом правильные пятиугольники, у вас обязательно останется незаполненный острый зазор — туда физически невозможно втиснуть еще один пятиугольник. На слайде это отлично видно. А если вы попробуете уложить правильные восьмиугольники, они начнут захлестывать друг на друга, образуя перекрытия. Шестиугольники же, наоборот, идеально стыкуются грань к грани и заполняют плоскость целиком.И это доказано абсолютно точно с точки зрения кристаллической решетки. Но самое забавное, что эти законы геометрии чудесные природные создания поняли много миллионов лет назад, задолго до Гаюи. Почему пчелиные соты именно шестиугольные? Да потому, что пчелам нужно как-то выживать и зимовать! Никакая уважающая себя пчела не станет строить пятиугольные соты, где между ячейками останутся щели и будет гулять ледяной сквозняк. Им нужно, чтобы домики стояли максимально плотно друг к другу, без малейших зазоров.Чтобы в сотах не было щелей и сквозняков, ячейки должны прилегать друг к другу максимально плотно. Вокруг тебя на плоскости должно быть как можно больше соседей. А математический максимум для плоской укладки равен именно шести. Так что пчелы экспериментально доказали уникальность цифры 6 еще много миллионов лет назад.Если мы посмотрим на изображение абсолютно любого кристалла в мире, вы легко проверите этот закон: осей порядка выше шестого в них нет. Оси второго, третьего, четвертого и шестого порядка существуют, а вот осей пятого или седьмого порядка вы в кристаллах не найдете ни за что.Зато в живых организмах сплошь и рядом встречается «безобразие» с осями пятого и более высоких порядков. Посмотрите на этот цветочек — ось какого она порядка? Считать, конечно, неохота, но явно не кристаллографического. На других кадрах мы тоже видим, что в живой природе таких примеров полно. Кристаллы жестко заблокированы от пятерки, а живые организмы её обожают.Здесь логично задать вопрос: почему так произошло? Более того, системный анализ эмпирически доказывает, что живые организмы целенаправленно предпочитают именно некристаллографические порядки осей.Мы можем сформулировать ответ в виде двух шутливых тезисов: во-первых, потому что они вредные, а во-вторых, потому что им страшно. Когда вы рождаетесь, условно говоря, морской звездой, природа предлагает вам выбор. Если вы выберете ось шестого порядка, то станете частью неживого, кристаллического мира. Живые существа будто боятся потерять свою индивидуальность. С эволюционной и исторической точек зрения они просто страхуются. Они рождаются в той форме, которая заведомо не подвластна законам периодической кристаллической решетки, чтобы случайно не слиться с неживой материей.Это глубокая философская вещь, но считается, что она имеет под собой вполне реальный биологический смысл. Кстати, есть еще такие удивительные организмы, как вирусы — у них тоже полно осей пятого порядка, хотя и по совершенно другим причинам. Когда мы будем разбирать с вами икосаэдрическую симметрию, вы поймете, почему вирусы предпочитают именно её. Там тоже прячутся оси \(L_{5}\), причем в огромном количестве.Размышляя обо всем этом, Гаюи всерьез задумался о принципах внутреннего строения кристаллов. И вот этот рисуночек на слайде...Размышляя обо всем этом, Гаюи всерьез задумался о принципах внутреннего строения кристаллов. И вот этот рисуночек на слайде наглядно иллюстрирует его идею. Гаюи считал, что внешняя форма кристалла строго соответствует его внутреннему устройству. Поэтому он предложил концепцию параллелепипедальной «интегрирующей молекулы» — некоего минимального кирпичика-конструктора, из которого строится абсолютно любое кристаллическое вещество. Он показал, что у каждого минерала должна быть своя уникальная форма такой микроскопической молекулы.Кстати, эта гравюра имеет под собой глубокую историческую и смысловую нагрузку. Обратите внимание: Гаюи держит в руках тот самый прикладной гониометр Ромэ-де-Лиля и измеряет углы не на чем-нибудь, а на кристалле кальцита — точнее, на его оптической разновидности, исландском шпате.Здесь мы снова сталкиваемся с трудностями перевода. Поскольку он был французом, его фамилия пишется как Haüy. Французы вообще очень вольно обходятся и с первыми буквами, и с последними — половину из них можно смело не произносить. Поэтому в нашей литературе его называют то Гаюи, то Аюи — но знайте, что это один и тот же человек. Рене Жюст Гаюи был французским аббатом. И это неудивительно: в те времена большинство образованных и умных людей имели прямое отношение к теологии, все философы так или иначе были связаны с церковью.Но что интересно — по совместительству он работал еще и в Петербургской академии наук! Как вы думаете, почему французский аббат числился у нас? Всё очень просто: Французская академия наук была довольно жадной, а наши российские императрицы денег на науку никогда не жалели. Лучшие умы Европы с удовольствием принимали наши гранты, поэтому Гаюи и стал почетным членом Петербургской академии наук.В начале своей научной деятельности Гаюи был человеком далеко не богатым. Чтобы раздобыть объекты для своих наблюдений, он ходил к состоятельным коллекционерам и просил: «Одолжите, пожалуйста, кристаллик, я только углы померяю». И вот однажды один богач дал ему роскошный, чистейший кристалл исландского шпата. Гаюи взял его и случайно уронил... Назревал грандиозный финансовый конфликт и скандал! Владелец коллекции его, конечно, со временем простил, но настроение ученого было безнадежно испорчено.Гаюи вернулся к себе в скромную аббатскую келью в глубочайшей депрессии, неся в руках разбитые осколки дорогого камня. И то ли от безысходности, то ли в бешенстве он начал молотить по этим осколкам молотком — мол, всё равно уже всё испорчено! И вдруг он обнаружил удивительную вещь: как бы сильно он ни разбивал кальцит, тот кололся на точно такие же идеальные параллелепипеды, просто всё меньшей и меньшей формы. Этот несчастный случай и привел его к открытию закона «интегрирующей молекулы», который впоследствии лег в основу всей теории решетчатого строения кристаллов. Вот так чистая случайность порой делает великую науку!Давайте посмотрим, какие еще важные люди присутствовали в...
Чтобы в сотах не было щелей и сквозняков, ячейки должны прилегать друг к другу максимально плотно. Вокруг тебя на плоскости должно быть как можно больше соседей. А математический максимум для плоской укладки равен именно шести. Так что пчелы экспериментально доказали уникальность цифры 6 еще много миллионов лет назад.
Если мы посмотрим на изображение абсолютно любого кристалла в мире, вы легко проверите этот закон: осей порядка выше шестого в них нет. Оси второго, третьего, четвертого и шестого порядка существуют, а вот осей пятого или седьмого порядка вы в кристаллах не найдете ни за что.
Зато в живых организмах сплошь и рядом встречается «безобразие» с осями пятого и более высоких порядков. Посмотрите на этот цветочек — ось какого она порядка? Считать, конечно, неохота, но явно не кристаллографического. На других кадрах мы тоже видим, что в живой природе таких примеров полно. Кристаллы жестко заблокированы от пятерки, а живые организмы её обожают.
Здесь логично задать вопрос: почему так произошло? Более того, системный анализ эмпирически доказывает, что живые организмы целенаправленно предпочитают именно некристаллографические порядки осей.
Мы можем сформулировать ответ в виде двух шутливых тезисов: во-первых, потому что они вредные, а во-вторых, потому что им страшно. Когда вы рождаетесь, условно говоря, морской звездой, природа предлагает вам выбор. Если вы выберете ось шестого порядка, то станете частью неживого, кристаллического мира. Живые существа будто боятся потерять свою индивидуальность. С эволюционной и исторической точек зрения они просто страхуются. Они рождаются в той форме, которая заведомо не подвластна законам периодической кристаллической решетки, чтобы случайно не слиться с неживой материей.
Это глубокая философская вещь, но считается, что она имеет под собой вполне реальный биологический смысл. Кстати, есть еще такие удивительные организмы, как вирусы — у них тоже полно осей пятого порядка, хотя и по совершенно другим причинам. Когда мы будем разбирать с вами икосаэдрическую симметрию, вы поймете, почему вирусы предпочитают именно её. Там тоже прячутся оси \(L_{5}\), причем в огромном количестве.
Размышляя обо всем этом, Гаюи всерьез задумался о принципах внутреннего строения кристаллов. И вот этот рисуночек на слайде...
Размышляя обо всем этом, Гаюи всерьез задумался о принципах внутреннего строения кристаллов. И вот этот рисуночек на слайде наглядно иллюстрирует его идею. Гаюи считал, что внешняя форма кристалла строго соответствует его внутреннему устройству. Поэтому он предложил концепцию параллелепипедальной «интегрирующей молекулы» — некоего минимального кирпичика-конструктора, из которого строится абсолютно любое кристаллическое вещество. Он показал, что у каждого минерала должна быть своя уникальная форма такой микроскопической молекулы.
Кстати, эта гравюра имеет под собой глубокую историческую и смысловую нагрузку. Обратите внимание: Гаюи держит в руках тот самый прикладной гониометр Ромэ-де-Лиля и измеряет углы не на чем-нибудь, а на кристалле кальцита — точнее, на его оптической разновидности, исландском шпате.
Здесь мы снова сталкиваемся с трудностями перевода. Поскольку он был французом, его фамилия пишется как Haüy. Французы вообще очень вольно обходятся и с первыми буквами, и с последними — половину из них можно смело не произносить. Поэтому в нашей литературе его называют то Гаюи, то Аюи — но знайте, что это один и тот же человек. Рене Жюст Гаюи был французским аббатом. И это неудивительно: в те времена большинство образованных и умных людей имели прямое отношение к теологии, все философы так или иначе были связаны с церковью.
Но что интересно — по совместительству он работал еще и в Петербургской академии наук! Как вы думаете, почему французский аббат числился у нас? Всё очень просто: Французская академия наук была довольно жадной, а наши российские императрицы денег на науку никогда не жалели. Лучшие умы Европы с удовольствием принимали наши гранты, поэтому Гаюи и стал почетным членом Петербургской академии наук.
В начале своей научной деятельности Гаюи был человеком далеко не богатым. Чтобы раздобыть объекты для своих наблюдений, он ходил к состоятельным коллекционерам и просил: «Одолжите, пожалуйста, кристаллик, я только углы померяю». И вот однажды один богач дал ему роскошный, чистейший кристалл исландского шпата. Гаюи взял его и случайно уронил... Назревал грандиозный финансовый конфликт и скандал! Владелец коллекции его, конечно, со временем простил, но настроение ученого было безнадежно испорчено.
Гаюи вернулся к себе в скромную аббатскую келью в глубочайшей депрессии, неся в руках разбитые осколки дорогого камня. И то ли от безысходности, то ли в бешенстве он начал молотить по этим осколкам молотком — мол, всё равно уже всё испорчено! И вдруг он обнаружил удивительную вещь: как бы сильно он ни разбивал кальцит, тот кололся на точно такие же идеальные параллелепипеды, просто всё меньшей и меньшей формы. Этот несчастный случай и привел его к открытию закона «интегрирующей молекулы», который впоследствии лег в основу всей теории решетчатого строения кристаллов. Вот так чистая случайность порой делает великую науку!
Давайте посмотрим, какие еще важные люди присутствовали в...
16. Кристаллографические открытия XIX векаВ XIX веке немецкий минералог и кристаллограф Христиан Самуэль Вейс открыл третий величайший закон кристаллографии — закон зон, или закон поясов граней. С ним мы подробно познакомимся чуть позже.А теперь давайте взглянем на две следующие даты. В 1826 году немецкий кристаллограф Мориц Людвиг Франкенгейм, очень уважаемый человек, впервые вывел те самые 32 класса симметрии, которым могут подчиняться кристаллические многогранники. Напомню, каждый такой класс — это строго определенный набор элементов симметрии, закономерным образом расположенных по отношению друг к другу.И следом у нас идет надпись: в 1830 году немецкий математик Иоганн Фридрих Христиан Гессель тоже вывел 32 класса симметрии. Чем принципиально отличается вывод Гесселя от вывода Франкенгейма? Да ничем, как мы с вами понимаем!И здесь мы снова возвращаемся к особенностям развития научной мысли в XIX веке. Интернета нет, мгновенных публикаций нет, количество научных журналов ничтожно мало, а коммуницировать между странами и даже городами безумно трудно. Ученые годами варились в собственном соку. Гессель понятия не имел о том, что Франкенгейм еще четыре года назад сделал абсолютно то же самое открытие.Впрочем, Франкенгейму тогда было не особо обидно. Гораздо обиднее в этой ситуации было самому Гесселю, потому что он, если честно, оказался величайшим кристаллографическим неудачником своего времени. Помимо этих 32 классов симметрии, которые у него неожиданно «увели»...Гессель действительно был величайшим кристаллографическим неудачником. Помимо тридцати двух классов симметрии, которые он вывел абсолютно независимо, он совершил еще массу открытий, опередивших свое время. Например, он впервые открыл явление гетеровалентного изоморфизма, но тогда его работу никто не оценил. Впрочем, и открытие Франкенгейма, и вывод Гесселя ждали всеобщего признания больше сорока лет, несмотря на то, что оба ученых честно опубликовали свои труды.В чем же здесь дело? Я сейчас произнесу максимально политкорректную фразу, а вы между строк попытайтесь угадать, что я имел в виду на самом деле. Итак: труды Франкенгейма и Гесселя остались незамеченными, поскольку большинство минералогов того времени были попросту не готовы к восприятию строгого математического аппарата. Понимаете, да? Люди веками изучали цвет, вкус, блеск и спайность камней, а тут приходят какие-то математики и начинают пичкать их сложными формулами! Естественно, геологи от них просто отмахнулись.Именно поэтому реальное признание этого закона всем мировым сообществом пришло позже и связано оно с именем нашего выдающегося ученого — Акселя Вильгельмовича Гадолина. Знаете, очень трудно спорить с артиллерийским генералом и Георгиевским кавалером, человек он был максимально серьезный. Мы о нем еще обязательно поговорим.Почему именно артиллерия? В те годы артиллерия была самой математизированной наукой среди всего военного дела. Там нужно было четко рассчитывать баллистику, траектории и даже банально понимать, как правильно уложить пушечные ядра в трюме боевого корабля, чтобы их влезло как можно больше, если вы вдруг отправляетесь в рейдерский захват по Карибскому морю. Пираты, кстати, тоже умели укладывать ядра по законам плотнейших упаковок, но Гадолин подошел к делу с точки зрения высшей математики. Он был глубоко уважаемым ученым, и в 1867 году его строгий вывод принес тридцати двум классам симметрии окончательное мировое признание.Параллельно в Париже развивалась деятельность французского физика и кристаллографа Огюста Браве, который довел идеи Гаюи до логического завершения. В 1855 году он математически вывел 14 типов пространственных решеток. Браве показал, что существует всего 14 вариантов параллелепипедов повторяемости (трансляционных ячеек), с помощью которых можно описать параллельный перенос и размножение частиц в кристаллическом веществе.Та симметрия, которую мы с вами изучаем прямо сейчас, называется точечной. Почему? Потому что у нас есть система координат, начало которой будто гвоздем прибито в пространстве. Все операции — это вращения или отражения строго вокруг этой неподвижной точки. Но если мы эту точечную симметрию начнем транслировать (перемещать) в пространстве — туда, к метро Университет, к Юго-Западной, к границам Новой Москвы или вообще к Туманности Андромеды, — мы мгновенно перейдем к симметрии бесконечных объектов.Чтобы описать симметрию бесконечного кристалла, нам как раз и требуются элементы трансляционного переноса. Браве доказал, что таких базовых сеток существует ровно 14. Казалось бы, теперь осталось сделать самое малое: просто сложить 32 класса точечной симметрии и 14 типов решеток Браве, чтобы получить абсолютно все законы размножения материи внутри бесконечного кристаллического пространства. Но эта математическая задача оказалась невероятно сложной, и лучшие умы человечества бились над ней десятилетиями.Прежде чем мы узнаем, кто же её решил, нам нужно...
Гессель действительно был величайшим кристаллографическим неудачником. Помимо тридцати двух классов симметрии, которые он вывел абсолютно независимо, он совершил еще массу открытий, опередивших свое время. Например, он впервые открыл явление гетеровалентного изоморфизма, но тогда его работу никто не оценил. Впрочем, и открытие Франкенгейма, и вывод Гесселя ждали всеобщего признания больше сорока лет, несмотря на то, что оба ученых честно опубликовали свои труды.
В чем же здесь дело? Я сейчас произнесу максимально политкорректную фразу, а вы между строк попытайтесь угадать, что я имел в виду на самом деле. Итак: труды Франкенгейма и Гесселя остались незамеченными, поскольку большинство минералогов того времени были попросту не готовы к восприятию строгого математического аппарата. Понимаете, да? Люди веками изучали цвет, вкус, блеск и спайность камней, а тут приходят какие-то математики и начинают пичкать их сложными формулами! Естественно, геологи от них просто отмахнулись.
Именно поэтому реальное признание этого закона всем мировым сообществом пришло позже и связано оно с именем нашего выдающегося ученого — Акселя Вильгельмовича Гадолина. Знаете, очень трудно спорить с артиллерийским генералом и Георгиевским кавалером, человек он был максимально серьезный. Мы о нем еще обязательно поговорим.
Почему именно артиллерия? В те годы артиллерия была самой математизированной наукой среди всего военного дела. Там нужно было четко рассчитывать баллистику, траектории и даже банально понимать, как правильно уложить пушечные ядра в трюме боевого корабля, чтобы их влезло как можно больше, если вы вдруг отправляетесь в рейдерский захват по Карибскому морю. Пираты, кстати, тоже умели укладывать ядра по законам плотнейших упаковок, но Гадолин подошел к делу с точки зрения высшей математики. Он был глубоко уважаемым ученым, и в 1867 году его строгий вывод принес тридцати двум классам симметрии окончательное мировое признание.
Параллельно в Париже развивалась деятельность французского физика и кристаллографа Огюста Браве, который довел идеи Гаюи до логического завершения. В 1855 году он математически вывел 14 типов пространственных решеток. Браве показал, что существует всего 14 вариантов параллелепипедов повторяемости (трансляционных ячеек), с помощью которых можно описать параллельный перенос и размножение частиц в кристаллическом веществе.
Та симметрия, которую мы с вами изучаем прямо сейчас, называется точечной. Почему? Потому что у нас есть система координат, начало которой будто гвоздем прибито в пространстве. Все операции — это вращения или отражения строго вокруг этой неподвижной точки. Но если мы эту точечную симметрию начнем транслировать (перемещать) в пространстве — туда, к метро Университет, к Юго-Западной, к границам Новой Москвы или вообще к Туманности Андромеды, — мы мгновенно перейдем к симметрии бесконечных объектов.
Чтобы описать симметрию бесконечного кристалла, нам как раз и требуются элементы трансляционного переноса. Браве доказал, что таких базовых сеток существует ровно 14. Казалось бы, теперь осталось сделать самое малое: просто сложить 32 класса точечной симметрии и 14 типов решеток Браве, чтобы получить абсолютно все законы размножения материи внутри бесконечного кристаллического пространства. Но эта математическая задача оказалась невероятно сложной, и лучшие умы человечества бились над ней десятилетиями.
Прежде чем мы узнаем, кто же её решил, нам нужно...
17. Универсальный закон симметрии-диссимметрииПрежде чем двигаться дальше, мы просто обязаны поговорить еще об одном человеке — о Пьере Кюри. Все мы со школьной скамьи знаем, что он вместе со своей супругой Марией Склодовской-Кюри активно занимался исследованиями радиоактивности. Но мало кто помнит, чем он увлекался до этого. К слову, Пьер Кюри довольно рано ушел из жизни — обратите внимание, это случилось в 1906 году. И погубила его вовсе не лучевая болезнь, а обычный парижский транспорт: он стал одной из первых жертв дорожно-транспортного происшествия, случайно поскользнувшись на мокрой мостовой и попав под тяжелый конный омнибус. Вообще, 1906 год оказался крайне неудачным для мировой кристаллографии, и чуть позже мы с вами увидим, почему именно.Применительно к нашей науке Пьер Кюри совершил важнейший прорыв — он сформулировал универсальный закон симметрии-диссимметрии (принцип Кюри). Этот закон гласит: когда накладываются друг на друга несколько явлений различной природы, каждое из которых обладает своей собственной симметрией, в результирующей общей системе выживают лишь те элементы симметрии, которые являются для них общими.Что это означает на практике? Представьте наш прямоугольный кирпич. В идеальном безвоздушном пространстве он вырос бы абсолютно симметричным со всеми своими тремя осями и плоскостями. Но на планете Земля любой зародыш кристалла растет в гравитационном поле. Вектор силы тяжести направлен строго вниз и сам по себе обладает симметрией конуса (\(L_{\infty} \cdot m\)). В итоге при наложении симметрии кристалла и симметрии поля многие элементы формы кристалла просто подавляются и исчезают.Посмотрите на геометрическую иллюстрацию на слайде. У нас есть квадрат с точечной симметрией (ось \(L_{4}\) и плоскости двух разных сортов) и есть равносторонний треугольник (ось \(L_{3}\) и три плоскости одного сорта). Что произойдет, если мы мысленно наложим их друг на друга? В получившейся совмещенной фигуре «выживет» всего одна-единственная вертикальная плоскость симметрии! И ось четвертого порядка, и ось третьего порядка, и масса других плоскостей, которые не совпали между собой, просто уничтожатся.Применительно к росту кристаллов и к любым биологическим объектам отсюда можно сделать красивейший вывод. Абсолютно всё, что активно движется или растет параллельно поверхности Земли (то есть перпендикулярно вектору гравитации), стремится сохранить в своей анатомии лишь одну плоскость симметрии. Посмотрите на таракана — у него всего одна плоскость симметрии, потому что он быстро бегает в горизонтальной плоскости.А вот всё, что ведет относительно «свободный» образ жизни — например, цветок, которому не нужно никуда ходить, или малоподвижная морская звезда, которая максимум лениво поднимется со дна на поверхность, — может позволить себе роскошь иметь радиально-лучистую симметрию высоких порядков.Давайте проверим это на природных примерах:- Кленовый листик — растет на ветке в строго определенной ориентации к солнцу и земле, поэтому у него четко выражена одна плоскость симметрии.
- Пингвин — хоть и птица, но активно бегает и ходит по поверхности Антарктиды, у него тоже сохраняется только одна зеркальная плоскость.
- Двустворчатый моллюск — вынужден вести подвижный или закрепленный на грунте образ жизни, и у него выживает лишь плоскость, разделяющая створки.
В то же время другие объекты, например, неподвижные цветы, растут строго вверх...Малоподвижные объекты устроены совсем иначе. Вот цветок — он растет строго вверх, навстречу солнцу. Ему, как и другим подобным организмам, не нужно активно перемещаться в пространстве, чтобы добывать себе пропитание. Поэтому у него спокойно формируется радиальная симметрия.Какие же два важнейших — и даже немного философских — вывода следуют для нас из этого принципа суперпозиции Кюри? Давайте их сформулируем:- Первый вывод. Никакие инопланетные захватчики из фантастических фильмов, если они устроены в виде идеальных шаров или кубов, не смогут высадиться на нашу планету и уж тем более активно колонизировать Землю. Они просто физически не приспособлены передвигаться по твердой поверхности в условиях нашей гравитации и вести активный образ жизни. Природа их быстро переформатирует.
- Второй вывод. Иллюстраторы фантастических комиксов и создатели «Звездных войн», сами того не подозревая, знали кристаллографию гораздо лучше многих. Посмотрите на изображения разумных пришельцев: какими бы экзотическими они ни были, даже если у них четыре руки, четыре ноги и две совести, у них всё равно будет всего одна зеркальная плоскость симметрии!
Более того, посмотрите на вашего старосту Степана, который сейчас сидит передо мной на стульчике. Его анатомическая симметрия точно так же целиком подчинена активному образу жизни на Земле — у него есть ровно одна плоскость симметрии, разделяющая тело на левую и правую половины. И это работает, даже несмотря на то, что у него, возможно, вообще нет совести!Но это мы с вами немножко лирически отвлеклись от нашей главной темы. Давайте вернемся к сугубо практическим и важным для нас фактам. Итак, если у нас есть реальный кристалл, обладающий...
18. Огранка реального кристаллаИтак, если наш кристалл, обладающий высокой внутренней симметрией, вынужден расти в стесненных условиях на земной поверхности, то многие элементы его внешней формы будут попросту потеряны. Кристалл вырастет кривым. В таком случае доказать, что два сильно искаженных образца кварца химически и структурно идентичны друг другу, на первых порах можно только с помощью закона постоянства гранных углов (если не привлекать, конечно, другие современные физико-химические методы исследования вещества).Именно из-за этого фактора силы тяжести львиную долю своего рабочего времени на Международной космической станции космонавты тратят на то, что выращивают кристаллы в условиях невесомости — в абсолютном отсутствии силы гравитации. Там, конечно, есть свои подводные камни: например, в невесомости отсутствует естественная конвекция, из-за чего труднее доставлять питательное вещество из раствора к поверхности растущей затравки. Но это чисто технические моменты, и они успешно решаются. Главное преимущество — отсутствие искажающего вектора гравитации — с лихвой перевешивает все сопутствующие технические неудобства.Второй неприятный для нас факт заключается в том, что внешняя среда на Земле искусно маскирует истинную симметрию кристалла. Когда перед вами лежит реальный природный образец, внешне он из-за условий роста может выглядеть как угодно криво и неказисто, хотя в идеале должен быть безупречным геометрическим телом.Но для вас, как для студентов, у меня есть отличная и приятная новость. Поскольку вы люди молодые и в кристаллографии пока неопытные, на первых порах на семинарах вы будете работать исключительно с идеализированными деревянными моделями. В них все те «гадости» и дефекты огранки, которые подбрасывает нам реальная земная природа, полностью выключены.А теперь, возвращаясь к законам размножения кристаллического пространства...
19. Кристаллографические открытия Л. Зонке, Е. С. Федорова и А. ШенфлисаБлиже всех к решению сложнейшей проблемы размножения бесконечного пространства подошел великий немецкий кристаллограф Леонгард Зонке. Он математически вывел 65 пространственных групп, которые обладали только осевой симметрией, наложенной на трансляционные решетки Браве.Но финальный, завершающий шаг в этой грандиозной задаче сделал наш гениальный соотечественник — Евграф Степанович Федоров, чей портрет вы уже видели на слайдах. В 1890 году строгим математическим путем он вывел 230 пространственных (федоровских) групп симметрии. Это 230 фундаментальных законов, которым подчиняется абсолютно любое размножение эквивалентных атомов и точек в бесконечном кристаллическом веществе. Там всё устроено безумно интересно! Но прямо сейчас я не буду раскрывать вам все детали, иначе я вас просто напугаю раньше времени. Пугать вас федоровскими группами я начну ближе к декабрю, так что морально готовьтесь.Обратите внимание на потрясающий исторический факт. Великий немецкий математик Артур Шёнфлис, которого мы тоже глубоко уважаем, вывел эти же группы на год позже Федорова, используя теорию групп. Более того, Шёнфлис безоговорочно признавал научный приоритет Евграфа Степановича. Они активно переписывались, советовались и консультировались друг с другом. Их переписка сегодня хранится в мировых анналах кристаллографической истории как образец высочайшей научной этики.На самом деле вывод 230 пространственных групп — это фундаментальный закон природы, который по своей значимости можно смело поставить на одни весы с Периодической системой химических элементов Менделеева. Более того, это открытие невероятно помогло кристаллографии ровно через 22 года после его формулировки. Вспомните, о чем мы говорили: когда в 1912 году физики открыли дифракцию и получили возможность делать первые рентгеноструктурные расшифровки, вся теоретическая математическая база была уже полностью готова! Ученым не пришлось ничего придумывать на ходу. Им оставалось просто взять справочник, провести эксперимент и сказать: «О, так это же структура под номером 7, которую Федоров описал на странице 13!». Всё уже было разложено по полочкам и доказано.Таким образом, уже к концу XIX века...
20. Представление об атомной структуре кристаллов в XIX векеТаким образом, уже к концу XIX века атомистические мировоззрения прочно вошли в кристаллографию как нечто само собой разумеющееся. Однако в других естественных науках всё было далеко не так гладко. Например, в те годы добрая половина физиков искренне считала, что атомы — это какая-то умозрительная глупость и фикция. Вспомните Эрнста Маха — знаете ведь такого физика? Он вообще до конца жизни категорически не признавал существование атомов.Были, конечно, и другие, прогрессивные физики — например, Людвиг Больцман. Оно и понятно: он является создателем молекулярно-кинетической теории газов, а в ней без идеи атомов и молекул обойтись, мягко говоря, сложновато. Но, несмотря на то что Больцман был великим и прогрессивным ученым, у него было колоссальное количество авторитетных противников. Сам по себе Больцман был человеком очень ранимым и обидчивым. Обратите внимание на годы его жизни: в том самом роковом для науки 1906 году он покинул наш грешный мир. Ученый просто выбросился из окна, оставив записку, что больше не может жить под грузом постоянных насмешек коллег. С его точки зрения, реальное существование атомов должно было быть доказано в лучшем случае лет через триста.Какой главный вывод мы с вами должны сделать из этой трагической истории? Во-первых, самый важный жизненный совет: никогда не надо торопиться. А во-вторых, существование атомов экспериментально доказали всего через шесть лет после его смерти! То есть парню стоило просто немного подождать.Что же произошло в 1912 году? Воспользовавшись открытием Икс-лучей Вильгельма Рентгена, о которых...
21. Открытие дифракции рентгеновских лучей и первые структурные расшифровкиЧто же произошло в 1912 году? Воспользовавшись открытием Икс-лучей Вильгельма Рентгена, которые впоследствии были названы его именем, немецкий физик Макс фон Лауэ — очень импозантный ученый — вместе со своими аспирантами провел исторический эксперимент. К тому времени в науке уже существовали примерные представления о размерах атомов. Также была известна длина волны рентгеновского излучения — жесткого электромагнитного излучения, значительно более коротковолнового, чем видимый свет, ультрафиолет или инфракрасные лучи. Она как раз лежала в ангстремном диапазоне.Макс фон Лауэ гениально сопоставил факты. Он понял: если кристаллы действительно обладают периодической структурой (как утверждал наш Федоров), а размеры атомов сопоставимы с длиной волны рентгеновского излучения, то мы можем направить этот поток лучей сквозь кристалл и получить явление дифракции! Лауэ осуществил этот опыт и зафиксировал на фотопластинке дифракционные отражения, отражающие законы геометрии так называемой обратной решетки.Правда, самому Лауэ в этом эксперименте немножко не повезло с объектом. Он взял медный купорос. Кто знает, что это такое? Это синие кристаллы, которые многие из вас наверняка любят выращивать дома. Медный купорос обладает очень низкой, триклинной симметрией, поэтому дифракционная картинка на фотопластинке получилась крайне запутанной. Лауэ смог лишь зафиксировать сам факт наличия отражений, но расшифровать структуру не сумел.Обратите внимание на исторический контекст: на дворе стоял 1912 год. У нас есть еще пара минут, так что слушайте. Европа активно готовилась к Первой мировой войне, все государства шпионили друг за другом. Поэтому всё, что немцы делали в своих лабораториях, англичане мгновенно пытались воспроизвести у себя. Так произошло и в этот раз.Молодой английский физик Уильям Лоуренс Брэгг (который на тот момент находился в Австралии), пользуясь советами своего отца, Уильяма Генри Брэгга, работавшего в британском Адмиралтействе, немедленно повторил опыты Лауэ. Но Брэгг взял принципиально другие объекты — цинковую обманку и всем нам известную поваренную соль. Галит (\(NaCl\)) обладает высочайшей кубической симметрией, и полученные рентгеновские отражения оказались настолько четкими и упорядоченными, что Брэгг смог вывести математический закон отражения рентгеновских лучей от кристаллической решетки и впервые определить её параметры.Этот фундаментальный закон прочно связан с именами Брэгга и нашего выдающегося соотечественника Георгия Викторовича Вульфа, который независимо от английских коллег в том же году вывел абсолютно аналогичную формулу. В англоязычной литературе её, естественно, называют просто «Bragg's equation» — вряд ли англичане добровольно напишут «формула Брэгга — Вульфа».Закончим нашу лекцию этим последним слайдом. Именно с 1912 года кристаллография окончательно превратилась в строгую, точную науку — в отличие от многих других дисциплин, которые, по меткому выражению Эрнеста Резерфорда, до сих пор остаются просто «коллекционированием марок».
Donate with PayPal:
| ← Следующая | Предыдущая → |
Комментарии
Отправить комментарий